2.4.1 一阶隐式微分方程与参数表示---可解出变量x或y的一阶隐式微分方程.pdf
一阶隐式微分方程的一般形式 求解方程思路：设法把方程转化为一阶显式微 分方程，运用前面介绍的适当方法来求解 0) ,(yyxF 可解出 y 的一阶隐式微分方程 dx dy xfy, 假定 ) , ( f关于它的两个自变量有连续偏导数 引入参数 dx dy p 有pxfy, 对方程两边关于 p dx dy 求导，并注意有x 得到方程 dx dp p pxf x pxf p ),(),( 由),(,(Cxxfy有原方程通解为pxfy, 通解为),(Cxp 1）如果方程 dx dp p pxf x pxf p ),(),( ),( ),( CCpfy Cpx 原方程参数形式的通解为 通解为),(Cpx 2）如果方程 dx dp p pxf x pxf p ),(),( 其中C是参数， p 是任意常数 其中C是任意常数 通解为0),(Cpx 3）如果方程 dx dp p pxf x pxf p ),(),( ),( 0),( pxfy Cpx 原方程参数形式的通解为 其中C是参数， p 是任意常数 例1 求解方程02 3 y dx dy x dx dy 解： dx dy x dx dy y2 3 原方程可以写为引入参数 dx dy p 有xppy2 3 对方程两边关于 dx dp xp dx dp pp223 2 求导，有x 进一步整理, 得到方程 023 2 pdxdpxp 如果 0p存在仅与 pee dp p dp p x p x xp 1 23 2 对称式023 2 pdxdpxp 有关的一个积分因子 p 方程两边乘以 ，得到一个 p 对023 2 pdxdpxp 全微分方程 )( )( 023 2 224 4 3 23 xpd dxppxdpd dxpxpdpdpp 积分得到Cxpp 24 4 3 解出 2 4 4 3 p pC x 有x 代入 p pC py 4 4 3 3 2 有xppy2 3 0 , 2 4 4 2 4 4 3 p p pC y p pC x 原方程参数形式的通解为 其中C是参数， p 是任意常数 如果 0p得到由xppy2 3 可验证这也是原方程的解0y 例2 求解方程 2 )( )( 2 2 x xxyxyy 解： 2 2 2 x xppy原方程可以写为引入参数)( xyp 对方程两边关于 x dx dp xp dx dp pp 2求导，有x 进一步整理, 得到方程021 xp dx dp 由01 dx dp Cxp积分得到通解 2 2 2 x xppy 得到原方程通解代入 2 2 2 CCx x y x dx dp xp dx dp pp 2得到 由 02 xp 2 x p 另一个解 2 2 2 x xppy 又得到原方程一个解代入 4 2 x y 注意：方程 2 )( )( 2 2 x xxyxyy 的通解 2 2 2 CCx x y 不包含 4 2 x y x y 1C 1C 0C 4 2 x y 是曲线族 的包络，是原方程奇解 2 2 2 CCx x y 4 2 x y 问题：求解方程 2 )( )( 2 2 x xxyxyy 2 2 2 x xppy 时，将原方程写为 再代入)( xyp Cxp并得到 试问这样的 1 2 2 CCx x y 的解？ 2 )( )( 2 2 x xxyxyy 是任意常数 是否为 1 , CC 关于 1 2 2 CCx x y积分，有x 是任意常数这里 1 , CC 可解出x的一阶隐式微分方程 )( ,xyyfx 假定 ) , ( f关于它的两个自变量有连续偏导数 引入参数 )( xyp 有pyfx, 对方程两边关于 )0( 11 p pdy dx dx dy求导，并注意有 y 得到方程 dy dp p f y f p 1 假定求得此方程的通解为 py,的一阶微分方程 0,Cpy 是关于 dy dp p f y f p 1 )( ,xyyfx 0),( ),( Cpy pyfx 的参数形式的通解则为 其中C是参数， p 是任意常数 例3 求解例1方程02 3 y dx dy x dx dy 解： x ，将方程写为引入参数 dx dy p 解出0, 2 3 p p py x 对两边关于 ydpdpppdy dy dp py dy dp ppp p dy dp py dy dp pp p 2 332 2 32 2 32 2 31 1 求导，有 y 进一步整理, 得到方程02 2 ydpdpppdy 这是一个恰当微分方程，积分得到Cppy 4 2 因此， )0( , 2 4 p p pC y代入 2 4 4 3 p pC x 有 p py x 2 3 0 , 2 4 3 4 2 4 p p pC y p pC x 原方程参数形式的通解为 C 是参数， p 是任意常数 此外，原方程还有解与之前求解所得的结果完全一样0y 小结 dx dp ffP pxfy xyxfy px ),( )( ,( 引入参数 )( xyp 对两边关于求导x dy dp ff p pyfx xyyfx py 1 ),( )( ,( 引入参数 )( xyp 对两边关于 求导y 谢谢大家！
