定积分及应用总结与拓展.pdf
第三章 定积分及其应用 大纲要求 了解反常积分的概念。 会 ，求积分上限的函数的导数，计算反常积分。 理解定积分的概念，积分上限的函数。 掌握定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法，牛顿一莱布尼茨公式，用定积分表达 和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积 为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等 内容精要 （一） 基本概念 定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度 不均质线段的质量所产生。 定义 3.3 设函数 f(x)在闭区间ba,上有定义， 在闭区间a,b内任意插入 n-1 个分点 将ba,分成 n 个小区间, iix xx ， 记), 2 , 1(nixxx iii L=，, 1ii xx ， 作乘积 ii xf)(（称 为积分元） ，把这些乘积相加得到和式 = n i ii xf 1 )(（称为积分和式）设 nixi=1:max， 若 = n i ii xf 1 0 )(lim 极限存在唯一且该极限值与区是a,b的分法 及分点 i 的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数 f(x)在ba,上的定积分，记作 dxxf b a )(，即 ii n i b a xfdxxf= = )()( 1 lim 0 . 否则称 f(x)在ba,上不可积. 注 1 由牛顿莱布尼兹公式知， 计算定积分与原函数有关， 故这里借助了不定积分的符号。 注 2 若dxxf b a )(存在，区间ba,进行特殊分割，分点 i 进行特殊的取法得到的和式 极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正 理解。 注 3 定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么 字母表示无关，即.)()()(duufdttfdxxf b a b a b a = 定积分的几何意义: 若 f(x)在ba,上可积，且, 0)(xf则dxxf b a )( 表示曲线 )(xfy =与直线bxaxy=, 0所围成的曲边梯形的面积. 同样，变力所作的功dxxfw b a )(=（其中 f(x)是变力）变速直线运动的路程 dttvS b a )(=（)(tv是瞬时速度） ，密度不均质直线段ba,的质量dxxM b a )(=（其中 )(x是线密度） 。 规定 . 0 )(,)()(=dxxfdxxfdxxf a a a b b a 四、广义积分 定义 3.4 设函数( )xf在区间)+, a上连续，称记号( )( )dxxfdxxf t ata + + lim记成 （1） 为函数( )xf在无穷区间)+, a上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存 在， 称广义积分( ) + a dxxf收敛， 该极限值称为广义积分的值， 否则称广义积分( ) + a dxxf 发散。 由( )xf在)+, a连续必有原函数，设( )xf的原函数为( )xF。于是 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ),limlim limlim + + + + = = a tt t t ata xFaFxFaFtF aFtFdxxfdxxf 记成 从 而 广 义 积 分 可 以 按 照 正 常 定 积 分 计 算 方 式 来 计 算 ， 即 ( )( )( )( )aFxFxFdxxf t a a = + + + lim 若( )xF t+ lim（存在）=A，则( ) + a dxxf收敛，且( )( ).aFAdxxf a = + 若( )xF t+ lim不存 在，则( ) + a dxxf发散。 同理可得 ( )( )( )( )xFbFxFdxxf x b b = lim 若( )xF t lim存在，则广义积分( ) a dxxf收敛，否则发散。 ( )( )( )( )xFxFxFdxxf xx+ + + = limlim 若( )xF t+ lim，( )xF t lim都存在，则( ) + dxxf收敛，否则发散。 定义 3.5 设( )xf在区间ba,(上连续，( )xf ax + lim不存在 （称 a 点为瑕点） ，0且 ab 0，常数）. 当1p时， = + = + + 1, 1, 1 1 1 1 1 p p p a x px dx p a p a p 当1=p时，,ln 1 += + + a a xdx x 知1p时收敛，1p时发散 第二 p 广义积分 () () b a p ab ax dx . 令dt t dxt ax 2 1 , 1 = ，有 () . 11 1 22 1 dt t dt t t ax dx ab p b a ab p p + + = = 由第一 p 广义积分知，当12 p，即1dxxf b a 性质 7 若 f(x),g(x)在ba,上连续且),()(xgxf但)()(xgxf,则 dxxgdxxf b a b a )()(. 性质 8 若 f(x)在ba,上可积，则dxxfdxxf b a b a | )(|)(|. 性质 9 若 f(x)在ba,上可积，在区间ba,上，mf(x)M，m，M 是常数，则 ).()()(abMdxxfabm b a 性质 4、5、6、7、8、9 主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定 积分值的范围. 性质 10 （积分中值定理） 若 f(x)在闭区间ba,上连续， 则至少存在一点,ba， 使 ).)()(abfdxxf b a = 而 ab dxxf f b a = )( )(称为 f(x)在区间ba,上的平均值，即闭区间a,b上连续函数 f(x) 的平均值是. )( ab dxxf b a 注：这里的,ba与),(ba是不同的。 性质 11 （推广的积分中值定理） 设)(),(xgxf在ba,上连续，且 g(x)在ba,上不 变号，则至少存在一点,ba,使.)()()()(dxxgfdxxgxf b a b a = 性质 12（柯西-许瓦尔兹（Cauchyschwarz）不等式） 设函数 f(x)，g(x)在ba,上连续，则 （1）.)()()()( 222 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a （2）.)()()()( 2 2 1 2 2 1 22 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a + 性质 13 变上限积分求导定理 设 f(x)连续，)(),(xvxu可导，则 ).( )()( )()( )( )( xvxvfxuxufdttf dx d xu xv = 1定积分计算的方法 （ 1 ） 牛 顿 一 莱 布 尼 兹 公 式 若f(x) 在ba,上 连 续 , 则 )()()()( )()( aFbFxFdxxf b a xfxF b a = = . （2）凑微分 dxxxfdxxg b a b a )( )()(= ).()()()()( )()( aFbFxFxdxf b a ufuF b a = = （3）变量替换 )()( )(),( )( )(tdtf ba tx dxxf a b = =令 ).()()()( )( )( )()( FFtFdtttf ttftF = = （ 4 ） 分 部 积 分 设)(),(xvxu在,ba上 导 数 连 续 ， 则 )()()()()()(xduxvxvxuxdvxu b a b a b a = 具体的用法是)()()( )()(xdvxudxxvxudxxf b a b a b a = dxxuxvxvxuxduxvxvxu b a b a b a b a )( )()()()()()()(= 如果能够计算出,)( )(dxxuxv b a 就可以计算出.)(dxxf b a 定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即 不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。 （5）设 f(x)在,aa上连续，则 = .)(,)(2 ,)(, 0 )( 0 为偶函数若 为奇函数若 xfdxxf xf dxxf a a a 事实上， dxxfdxxfdxxf a a a a )()()( 0 0 += 而 = = .)(,)( ,)(,)( )()()( 0 0 0 00 为偶函数若 为奇数若 令 xfdxxf xfdxxf dxxfdttfxf a a a a tx a 故得证 推论.)()()( 0 dxxfxfdxxf aa a += 证 由于, 2 )()( 2 )()( )( xfxfxfxf xf + + = 且 2 )()(xfxf+ 为偶函数， 2 )()(xfxf 为奇函数，于是 dx xfxfxfxf dxxf a a a a 2 )()( 2 )()( )( + + = .)()( 2 )()( 00 dxxfxfdx xfxf aa += + = （6）设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则dxxfdxxf TTa a )()( 0 = + . 事实上dxxfdxxfdxxfdxxf Ta T T a Ta a )()()()( 0 0+ += 由于,)()()()( 0 00 dxxfdttfdtTtfdxxf a aa Ttx Ta T =+ += + 设 于是 .)()( 0 dxxfdxxf TTa a = + （7）设 f(x)在0,1上连续，则.)(sin 2 )(sin 00 dxxfdxxxf = 事实上dttftdxxxf tx )sin()()(sin 0 0 = 令 .)(sin)(sin)(sin)( 000 dxxxfdxxfdxxfx = 移项两边同除以 2 得dxxfdxxxf)(sin 2 )(sin 00 =. （8） = ., 3 2 2 31 , 22 1 2 31 cossin 2 0 2 0 为奇数当 为偶数当 n n n n n n n n n n xdxxdx nn L L 事实上.coscos,) 2 (sinsin 2 0 2 0 0 2 2 2 0 xdxtdtdttxdx nnn tx n = =令 记xxdxdxxxdxI nnn n sincoscoscoscos 1 2 0 1 2 0 2 0 = )2(sincos) 1(sinsincos 2 2 0 2 0 1 += nxdxxnxxx nn ,) 1() 1()cos1 (cos) 1( 2 22 2 0nn n InIndxxxn= 于是L 42 2 311 = = nnn I n n n n I n n I 由 于 递 推 公 式 每 次 降2次 ， 要 讨 论n为 奇 偶 数 的 情 形 ， 由 , 2 , 1cos 2 00 2 01 =dxIxdxI故 = ., 3 2 2 31 , 22 1 2 31 为奇数若 为偶数若 n n n n n n n n n n In L L 微元法 根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求 量 Q 所分布的区间,ba且区间,ba上的总量 Q 具有等于各小区间上部分量之和的特点. （1）取近似求微元.选取区间)0(,+xxxx。写出部分量Q的近似值,)(xxf 即 .)(xxfQ 要求xxf)(是Q的线性主部.dQ即计算的过程中，可以略x的高阶无穷小。 这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法. （2）得微分. dxxfdQ)(= （3）计算积分. = b a dxxfQ.)( 注：第一步一定要把Q表示成 x 的函数与x的乘积形式. 由dxx =，于是又可写成下面的步骤： （1）选取),0(,+dxdxxx求Q的线性主部dQ，dxxfdQ)(=, （2） = b a dxxfQ.)(
