第25讲 随机变量的方差.pdf
随机变量的方差 方差 甲、乙两人同时向靶心射击甲、乙两人同时向靶心射击6 6枪，枪，其落点其落点 距距靶心靶心的位置如图的位置如图 你认为甲、乙谁打的好你认为甲、乙谁打的好? ? 因为甲的弹着点较集中在中心附近因为甲的弹着点较集中在中心附近 . . 乙乙 甲甲 方差 用什么来衡量弹着点用什么来衡量弹着点X与中心与中心E(X)平均平均 偏离程度？偏离程度？ 用用 E(X- -E(X)=0, 不行不行 用用 E|X- -E(X)| 难算难算 用用 EX- -E(X)2 可行可行 方差方差 方差 定义定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX- -E(X)2 存在，则称存在，则称EX- -E(X)2是是X的方差，记作的方差，记作D(X), 即即 D(X)= EX- -E(X)2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望 的离散程度的离散程度. . (), X D XX 称称是是 的的标标准准差差或或均均方方差差，记记为为即即 (). X D X 方差 若若D(X)较小，则较小，则X的取值比较集中；的取值比较集中； 若若D(X)较大，则较大，则X的取值比较分散的取值比较分散. . x O f(x) =1 =2 =1/ /2 x O f(x) =1 =2 =1/ /2 方差 方差是随机变量方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X- -E(X)2 的的数学期望数学期望 . 离散型的情况，若离散型的情况，若X的分布列的分布列 连续型的情况，若连续型的情况，若X的概率密度为的概率密度为f(x), 则则 2 ()()( ).D XxE Xf x dx ()(1,2,) ii P Xxp i 2 1 ()(), ii i D XxE Xp 方差 计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)- -E(X)2 证证 D(X)=EX- -E(X)2 =EX2- -2XE(X)+E(X)2 =E(X2)- -2E(X)2+E(X)2 =E(X2)- -E(X)2 E(X2) E(X)2 泊松分布的方差 例例1 1 设设XP(), 求求DX. 解解 (),0,1,0; ! k X P Xkek k 的的分分布布列列为为 0 ! (,) k k ke k E X 22 0 () ! k k E Xke k 泊松分布的方差 例例1 1 设设XP(), 求求DX. 解解 0 ! (,) k k ke k E X 22 0 () ! k k E Xke k 0 (1) ! k k k ke k 2 2 2 0( 2)! k k e k 2 2222 ().(E XEXD X 2 00 () ! kk kk kkeke kk 均匀分布的方差 例例2 2 设设XUa, b 求求DX 解解 X的概率密度为的概率密度为 1 , , ( ) 0, . axb f xba 其其他他 ( 2 ,) ab E X 22 22 (), 3 b a dxaabb E Xx ba 222 22 () ()() 34 () aabb D X ab E XEX 2 () 12 . ba 正态分布的方差 例例3 3 解解 X的概率密度为的概率密度为 2 ( ,), ().XND X 设设求求 2 2 () 2 1 ( ),. 2 x f xexR 2 ()() E XE XD X (),E X 2 2 22 2 . 2 t x tt edt 2 2 () 2 2 1 () 2 x xedx 期望、方差的应用 例例4 4 小王有一笔资金，可投资甲、乙两个项目，小王有一笔资金，可投资甲、乙两个项目， 通过调研，两项目的收益通过调研，两项目的收益X与与Y( (万元万元) )的分布列的分布列 分别为分别为 问小王应该投资哪个项目？问小王应该投资哪个项目？ 解解 先算两了项目各自的平均收益先算两了项目各自的平均收益 E(X)=5 0.6+2 0.3+(- -1) 0.1=3.5(万万), E(Y)=6 0.7+(- -2)0.3=3.6(万万) E(X) X P 5 2 1 0.6 0.3 0.1 Y P 6 2 0.7 0.3 期望、方差的应用 再来计算两项目收益各自的方差和标准差再来计算两项目收益各自的方差和标准差. . D(X)=(1.5)20.6+(- -1.5)20.3+(- -4.5)20.1=4.05, D(Y)=(2.4)20.7+(- -5.6)20.3=13.44, 乙项目的收益虽然比甲项目收益多乙项目的收益虽然比甲项目收益多0.1万元，但万元，但 投资的风险比投资甲项目大将近一倍，因此，投资的风险比投资甲项目大将近一倍，因此， 综合权衡收益和风险，小王投资甲项目更好些综合权衡收益和风险，小王投资甲项目更好些. ()2.012, X D X ( )3.666. Y D Y 方差的性质 1.1.设设C是常数是常数,则则D(C)=0; 2. 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X); 3. D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX- -E(X)Y- -E(Y); 若若X与与Y独立，则独立，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y); 推广：若推广：若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则 11 (), nn ii ii DXD X 2 0 11 (). nn iiii ii D CC XC D X 方差的性质 4.4.若若X与与Y独立，则独立，则 5. D(X)=0 P(X= C)=1，且，且 C=E(X). 证证 22 ()() ( )() ( )( ) () ;D XYD X D YD XE YD YE X 22 1. ( )( )()0.D CE CE CE CC 22 2. ()() ()D CXE CXE CX 2222 () ()C E XCE X 222 () () CE XE X 2 ().C D X 方差的性质 证证 2 3. ()()()D XYE XYE XY 2 () ( )EXE XYE Y 22 ()( ) 2 ()( ). E XE XE YE Y EXE XYE Y ()( )EXE XYE Y = ( )()() ( )E XYXE YYE XE X E Y ()()=.(E XYE X E Y 方差的性质 ()() ( ).XYE XYE X E Y 当当 与与 独独立立时时， ()( )=0EXE XYE Y ()()( ).D XYD XD Y所所以以 ()( )EXE XYE Y = ()()( ).E XYE X E Y 4 4，5 5的证明略的证明略. . 二项分布的方差 例例5 5 设设XB(n, p), 求求D(X). 解解 1 (1,2, ). 0 i i Xin i ， 第第 次次试试验验成成功功， 设设 ， 第第 次次试试验验失失败败. . 1, , n XXp则则独独立立同同分分布布于于参参数数为为 的的(0-1)(0-1)分分布布， ()(1),(1,2, ), i D Xppin 12 , n XXXX且且 12 ()() n D XD XXX故故 1 )(1). n i i nppD X 几何分布的方差 例例6 6 设设X服从几何分布，分布列为服从几何分布，分布列为 P(X=k)=p(1- - p)k-1, k=1,2, 其中其中0<p<1,求求D(X). 解解 记记q=1- -p， 1 1 () k k XpqEk 1 () k k pq ) 1 (. 1 q p qp 1 () k k pq 221 1 () k k E Xk pq 1 ()() k k qpqE X 1 () 1 q qp qp 11 11 (1) kk kk pk kqkq 3 21 (1) qp qp 几何分布的方差 例例6 6 设设X服从几何分布，分布列为服从几何分布，分布列为 P(X=k)=p(1- - p)k-1, k=1,2,，n 其中其中0<p<1,求求D(X). 解解 记记q=1- -p， 1 ().E X p 2 22 2 2 21 () () 1 (). p D X p E XE X ppp 故故 3 2 21 (1 ( ) )pEq qp X 2 21q pp 2 2 . p p 例例7 7 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 求求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 解解 由由独立正态变量的线性组合仍为正态分布，独立正态变量的线性组合仍为正态分布， 有有 Z=2X- -Y+3N(E(Z),D(Z). E(Z)=2E(X)- -E(Y)+3=2+3=5, D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9. 即即 ZN(5, 32). 故故Z的概率密度是的概率密度是 2 (5) 18 1 ( ),. 3 2 z Z fzezR 常用分布的期望和方差 2 2 (1, ),(),()(1), ( , ),(),()(1), ( ),()(),(0), ( ),()1/,()(1)/, ( , ),()()/ 2, ()() /12, ( ), XBpE Xp D Xpp XB n pE Xnp D Xnpp XPE XD X XG pE Xp D Xpp XU a bE Xab D Xba XE 若若则则 若若则则 若若则则 若若则则 若若则则 若若则则 2 22 ()1/,()1/,(0), ( ,),(),(),(0). E XD X XNE XD X 若若则则 谢谢 谢！谢！
