理科数学-全真模拟卷02（新课标Ⅲ卷）（2月）（解析版）.docx

全真模拟卷02（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】，解得：，.故选：B2设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3已知向量，若，则x的值为（ ）A2BCD【答案】D【详解】因为，所以，解得.故选：D4下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员场比赛所得分数的甲乙茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A甲所得分数的中位数为B乙所得分数的极差为C两人所得分数的众数相等D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【详解】甲所得分数的中位数为，A正确，不符合题意；乙所得分数的极差为，B正确，不符合题意；甲所得分数的众数为，乙所得分数的众数也为，C正确，不符合题意；甲所得分数的平均数为，乙所得分数的平均数为，故甲所得分数的平均数大于乙所得分数的平均数，则D错误，符合题意故选：D.5在中，角的对边分别为，点D在边上，已知，则（ ）A8B10CD【答案】A【详解】如图所示：在中，由余弦定理可得，得，因为，由正弦定理得，因为，得，因为，所以，又因为，所以，所以三角形为等边三角形，即.故选：A6函数在的图像大致为（ ）ABCD【答案】C【详解】，是奇函数，故A错误；，故BD错误.故选：C.7已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A1B-1CD【答案】B【详解】由图象可得且，因为，故，故.由图象可得为轴右侧第一个最低点，故，故，故，所以，故选：B.8在直三棱柱中，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（ ）A4B3CD【答案】D【详解】解：因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为，则，解得，设直三棱柱的高为，则，即，解得，所以直三棱柱的高为，故选：D9已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（ ）ABCD【答案】C【详解】设已知两直线交点为，由于两直线的斜率分别为和，因此它们垂直，则以为直径的圆过点，由，解得，即，过作轴垂线，为垂足，为圆与轴切点时圆半径最小，此时即为圆直径所以圆半径为，面积为故选：C10执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中处可以填入（ ）ABCD【答案】C【详解】第一次循环：，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为7所以判断框中的条件可填写“”11已知双曲线的左焦点为，、为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【详解】如图所示，设点在第一象限，因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上.，解得.又因为，所以.在中，所以，即.所以，即，所以.12已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】或，时，时，递减；时，递增，的极小值为，又，因此无解此时要有两解，则，又是奇函数，时，仍然无解，要有两解，则综上有二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若曲线在处的切线与直线垂直，则a=_.【答案】；【详解】由题意得，所以，因为切线与直线垂直，所以，且，解得.故答案为：14的展开式中常数项为_【答案】【详解】，展开式中常数项为，15设为双曲线上的一个动点，点到的两条渐近线的距离分别为和，则的最小值为_.【答案】【详解】双曲线的渐近线方程是，设是双曲线上任一点，不妨设，在双曲线上，即，所以，当且仅当，即或时等号成立的最小值为16如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为_【答案】【详解】平面，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球直径为，所以，设球心为点，则为的中点，连接，、分别为、的中点，则，且，设过点的平面为，设球心到平面的距离为.当时，；当不与平面垂直时，.综上，.设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列是首项，且满足的正项数列，设.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【详解】（1）对任意的，所以，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为,；（2），上式下式得，因此，.18如图，在棱柱中，底面为平行四边形，且在底面上的投影恰为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【详解】（1）棱柱.四边形，为平行四边形，四边形为平行四边形.在中，四边形为平行四边形.在平面上的投影为平面平面.又平面平面（2以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，设为平面的一个法向量则令，则，则又为平面的一个法向量与二面角所成平面角相等二面角的大小为 19为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀学习成绩一般总计（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，记这人中“学习成绩优秀”的人数为，试求的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：【详解】（1）列联表如下表所示：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀学习成绩一般总计假设学生的学习成绩与使用手机无关，所以，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）人中学习成绩优秀的人有人，学习成绩一般的有人，可能的取值有、，.所以，随机变量的分布列为.20已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，(为坐标原点).直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【详解】解：（1）由题意可得 解得，（2）设直线的方程为，联立整理得，则，因为，所以，所以所以，即整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点.21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、求的取值范围；证明：【详解】（1）函数的定义域为，.（i）当时，对任意的，在上单调递增；（）当时，若，则，在上单调递增；若，则，在区间上单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）令，可得，令，其中，由于函数有两个零点、，所以，函数与函数的图象有两个交点，令，可得，列表如下：极小值所以，函数的极小值为，如下图所示：当时，由图象可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，因此，所求的取值范围为；由题意，两式作差可得，则，两式相加得，要证，只要证，即，只要证，即证，即证，其中且，令，所以，函数在上单调递增，则，即，故不等式成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求.【详解】（1），的普通方程为，由可得，故的普通方程为.（2）的参数方程为（为参数），将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，令，由韦达定理得，则有.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）解不等式；（2）若的最小值为，且正实数，满足，求的最小值【详解】解：（1）由，当，由当，由（舍）当，由综上：或，即不等式的解集为 （2）由（1）当时，当时，当时，所以，即，则，由由,当且仅当时取等号，当时，原式取最小值为.26