理科数学-全真模拟卷02（新课标Ⅱ卷）（2月）（解析版）.docx

全真模拟卷02（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】已知集合，集合，则.故选：B.2当复数时，实数的值可以为（ ）ABCD【答案】C【详解】当时，所以不满足，故A不正确.当时，,所以，故B不正确.当时，, ，满足，故C正确.由上可知，选项D不正确.故选：C3设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，化简得，即，即与共线当与共线时，则存在唯一实数，使得，与不一定相等，即不一定相等故“”是“与共线”的充分不必要条件4若实数，满足，则（ ）ABCD【答案】D【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故选：D5为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A48种B36种C24种D12种【答案】B【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有不同的选取方法，故选：B6函数的部分图象大致是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：函数的定义域为，故排除A，故函数为奇函数，由于时，故时，故排除BC；所以D选项为正确答案.7某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）A24B30CD【答案】D【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥，由题得，所以几何体的高为.所以几何体的体积为.8琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD【答案】B【详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为所以所求的概率，故选：B9克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）A30B45C60D90【答案】C【详解】因为，且为等边三角形，所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设，所以，所以解得，所以，所以，故选：C.10若将函数的图像向右平移个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ）ABCD【答案】B【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度，所得的函数为，由，得，当时，故选：B11已知梯形的上底长为1，下底长为4，对角线长为，长为，则的面积为（ ）A1B2C3D4【答案】A【详解】如图，过作，连接，则，所以，故.12若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】设，则恒成立，由，令，则恒成立，所以为增函数，令得，当时，当时，；所以在递减，在递增，故在处取得最小值，故最小值，因为，则所以恒成立，得，又因为（当且仅当时等号成立）；所以 即 .故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若函数满足当时，当时，则_.【答案】【详解】解：因为，所以因为，所以.14的展开式中，常数项为_（用数字作答）【答案】【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.15已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心，半径为的圆与交于点，过点作圆的切线，切点为，若，且的面积为，则_【答案】2【详解】因为， 所以，因为，所以是线段的中点,因为的面积为，所以的面积为.又由可得，所以,所以，解得.16在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，则这个“堑堵”的外接球的表面积为_.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以.所以外接球的表面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17若数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【详解】解：（1）当时，当时，当时，也符合上式，所以对任意正整数，.（2）由（1）得，所以，得，所以18如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，平面为等边三角形，.（1）若平面，求的值；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【详解】解：（1）连接与相交于点M，连接.由于四边形为平行四边形，E为的中点，且，从而.平面平面，平面平面，即.（2）取中点O，连接，为等边三角形，又平面，平面，平面，平面.以O为坐标原点，方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则.易知，平面的法向量为.设平面的法向量为，得，取，得，由于二面角的平面角为钝角所以二面角的余弦值为.19红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概率为.（）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.（）当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.【详解】（1）根据散点图可以判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.对两边取自然对数得，令，得.因为，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为.（2）（）由，得，因为，令得，解得；令得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一极大值，也为最大值.所以当时，此时响应的概率.（）由（）知，当取最大值时，所以，所以，.20已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）设是函数的导函数，求零点之间距离最小时a的值【详解】（1）当时，可得，所以切点为，因为，所以，所以在处的切线方程为：，即，（2），因为， 所以函数有两个零点，分别设为，则，所以，所以当时，函数零点之间距离最小为.21已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，与椭圆分别交于点，（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线，的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值【详解】（1）由题设，得，且，由解得，所以椭圆的标准方程为，椭圆的离心率为（2）直线的斜率为定值1. 证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，设直线的方程为，与椭圆的方程联立，并消去得，则，是该方程的两根，则，即设直线的方程为，同理得因为，所以，因此直线的斜率为定值请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点(异于极点)，当时，求.【详解】解：（1）(为参数)曲线的普通方程为，即，曲线的极坐标方程为（2）依题意设，由得.由得.，是圆的直径，.在直角中，在直角中，即.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）若，则有或或，解得或或.因此不等式的解集为或；（2）恒成立只需即可，而在上递减，在上递增，所以，21