理科数学-全真模拟卷02（新课标Ⅲ卷）（解析版）.docx

全真模拟卷02（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集,集合,集合,则( )ABCD【答案】C【详解】 , 则.2设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（ ）A B C D【答案】B【解析】，虚部为1，故选B3若、的方差为，则、的方差为（ ）ABCD【答案】D【详解】、平均数为，方差为，因为、的平均数为，方差不变为，、的平均数为，方差为，综上、的平均数为，方差为，所以、的平均数为，方差为.4为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）A13小时B15小时C17小时D19小时【答案】B【详解】由已知时，故，解得；污染物减少27%，即，由，所以，则.5已知则( )ABCD【答案】B【解析】，6已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（ ）A BC D【答案】A【详解】设点，则，则，即，整理得，动点的轨迹的方程为.7抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则( )ABCD【答案】D【详解】抛物线，即，焦点，直线的方程为，代入，整理得，设，故，所以，8设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，与圆相切于点P，且P位于第一象限，O为坐标原点，则的面积的最小值为（ ）A1BCD2【答案】A【详解】依题意，设，直线l与圆相切于点P，P位于第一象限则直线过一、二、四象限，即，则直线方程为，化简得，直线与圆相切，故圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立.即三角形面积最小值为19一个正三棱柱的三视图如图所示，则正三棱柱的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可得正三棱柱的示意图如图，它的高是2，底面是边长为4的正三角形，其中上下底面的中点连线的中点O即几何体外接球的球心，线段OC即半径由几何体的性质知，O是三角形的中心，可求得OO1，又OC，所以球的表面积为4故选：A10已知，则的最小值是（ ）A6B8C4D9【答案】D【详解】则当且仅当，即时取等号11的内角所对的边分别为, , ,则ABC或D或 【答案】C【解析】在中，由正弦定理得，由, , ,得.因为，所以或.12已知函数，则以下4个命题：是偶函数；在上是增函数；的值域为；对于任意的正有理数，存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】B【详解】因为，所以，所以不是偶函数，故错误；因为，所以在不是增函数，故错误；因为，显然的值域中不含负无理数，故的值域不为，故错误；的零点即为有理数或为无理数，对于为有理数，必有解，对于为无理数，必有解或无解，故有三个零点或一个，故正确；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设变量x，y满足约束条件：，则目标函数的最小值为_.【答案】【详解】画出可行域，如图：即，表示斜率为的直线的纵截距，由图可知，当直线过A点时，取最大，即z取最小值，由解得，的最小值为.14在展开式中，常数项为_.（用数值表示）【答案】【详解】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，15若曲线在点的切线方程是，则实数_【答案】【详解】，在处的切线方程为，解得，16下列命题正确的序号为_.（1）命题“，”的否定形式是“，”；（2）若函数(其中，且)的值域为，则实数的范围为；（3）函数在上是减函数，则实数的取值范围是；（4）已知函数，若，且，则.【详解】（1）命题“，”的否定形式是“，或”，故错误；（2）若函数(其中，且)的值域为，令，则，解得，故错误；（3）若函数在上是减函数，则，解得，故正确；（4）因为函数，且，即，又，所以，解得，故错误；三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题12分）已知为等差数列，为等比数列，.（1）求和的通项公式；（2），求数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得d，解得，所以，由，可得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以，故 上述两式相减，得 =，所以.18一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损、按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：转速(转/)每小时生产有缺损零件数(件)（1）在下图作出散点图；（2）如果与线性相关，求线性回归方程；（3）如果实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为个，那么机器运转速度应控制在什么范围内？参考数据：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【详解】（1）散点图如下：（2）由题意可得，；（3）令，得，故机器运转速度控制在转/以内.19如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2则， ，（1）设平面的法向量为，令，则，面平面.（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，=，直线到平面的距离为.（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，=，所以平面与平面夹角的余弦值.20已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，点是抛物线上异于两点的一动点，直线与直线交于两点.（1）证明：两点的纵坐标之积为定值；（2）求面积的最小值.【详解】（1）证明:设直线，设，由消去并整理得：，直线分别与直线分别交于两点，直线，令，同理：，,所以两点的纵坐标之积为定值-8.（2）设直线与轴交于点，当且仅当时取等号，的面积的最小值为.21已知函数在处取得极值，.（1）求的值与的单调区间；（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围.【详解】（1）由题意得的定义域为，函数在处取得极值，解得，则由得或，、的关系如下表：极大值极小值函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）得函数，当时，对任意、，都有，即当，时，在上单调递减，在上单调递减，则，则，即，解得或，结合，得，故实数的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）已知点，直线与曲线相交于点，求的值.【详解】（）由（为参数），所以则直线的普通方程为：由，所以又，所以则曲线的直角坐标方程为：（）由（）可知：直线参数方程标准形式为：（为参数）将该方程代入曲线的直角坐标方程化简可得：设点所对应的参数分别为所以，则所以则23选修4-5：不等式选讲（10分）(1)用分析法证明:.(2)已知，证明:.【详解】证明:(1)欲证,只需证,即证,只需证,因为显然成立,所以成立(2)因为,在不等式两边同时加上,得,所以20