专题10 新背景下的函数、数列、概率问题（解析版）.doc
专题10 新背景下的函数、数列、概率问题一、单选题1（2020全国高三专题练习）设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则()Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2【答案】C【解析】不妨设ab，cd，则abb，cdc.若b<2，则a<2，ab<4，与ab4矛盾，b2.故ab2.若c>2，则d>2，cd>4，与cd4矛盾，c2.故cd2.本题选择C选项.2（2020全国高三课时练习）设定义在上的函数，对于给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”.关于函数的“2界函数”，则下列等式不成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】令，解得或，根据“界函数”的定义，有.所以，故A选项成立.，故B选项不成立.，故C选项成立.，故D选项成立.综上所述，本小题选B.3（2020黑龙江省高三）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A9B10C11D12【答案】A【解析】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：为奇数，则；第二步：为偶数，则；第三步：为偶数，则；第四步：为偶数，则；第五步：为奇数，则；第六步：为偶数，则；第七步：为偶数，则；第八步：为偶数，则；第九步：为偶数，则.故选：A4（2020海南省高三）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（ ）A1347B1348C1349D1346【答案】A【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，各项除以2的余数，可得数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，所以数列是周期为3的周期数列，前三项和为，又因为，所以数列的前2020项的和为.故选：A5（2020山东省高三期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，.故选：B.6（2020全国衡水中学高三）如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从中任取两个数字的所有情况有，共种，而其中数字之和为的情况有，共种，所以所求概率.故选.7（2020全国高三专题练习）福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之蓝色奇迹：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张蓝色奇迹刮刮乐如图（2），除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为（无所得税）( ) 图（1） 图（2）ABCD【答案】B【解析】根据所刮开数据，小明已经获得了200元，在剩下的数字中，可能获得的100，200，1000，500，获得500，100分别有100种可能，所以中500或者1000的概率为，所以得到的奖金额高于600元的概率为，故选：二、填空题8（2020宁夏回族自治区银川一中高三月考）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，就称这个函数是点A的“限定函数”.以下函数：，其中是原点O的“限定函数”的序号是_.已知点在函数的图象上，若函数是点A的“限定函数”，则实数a的取值范围是_.【答案】 【解析】(1) 当时，因为，所以函数是原点的“限定函数”；因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时， ，因为，所以不是原点的“限定函数”；因为在上单调递增，所以当时，因为，所以是原点的“限定函数”；因为在上单调递增，所以当时，因为，所以不是原点的“限定函数”.(2)因为点在函数的图象上，所以，因为是点A的“限定函数”，并且当时，所以，解得.故答案为：；9（2020山东省高三月考）已知集合.给定一个函数，定义集合 若对任意的成立，则称该函数具有性质“”(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 _；()给出下列函数：；，其中具有性质“”的函 数的序号是_（写出所有正确答案的序号）【答案】（答案不唯一） 【解析】(I)对于解析式：，因为，符合() 对于，循环下去，符合；对于，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合，对于，不符合，所以，选10（2020全国高三专题练习）定义域为的函数同时满足以下两条性质：存在,使得；对于任意，有.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.（i）若是增函数，则_ ；（）若不是单调函数，则_ .【答案】 【解析】由可知为非零函数，由可知，只要确定了在上的函数值，就确定了在其余点处的函数值，若是增函数，令在上的解析式为，则当时，则，故.故，此时为上的增函数.若不是单调函数，令在上的解析式为，它不是单调函数，又当时，则，故.故.故答案为：.11（2020陕西省高三期末）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为_.【答案】，（答案不唯一）【解析】由得： 的定义域为又为定义域内的增函数 值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一）12（2020全国高三专题练习）我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；任意相邻的两项，满足.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列_“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii）若，则数列_“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】是 是 【解析】若数列为，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故为“有趣数列”.若，则，.，故.,故.，故.综上，为“有趣数列”.故答案为：是，是.13（2020湖北省高三期末）艾萨克牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】函数有两个零点1和3可得.故.由题意得.故.故.故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故.故答案为：14（2020河北省高三期末）若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”.现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为_【答案】；【解析】根据定义“递增三位数”, 个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字.可知个位数最小为3,最大为9当个位数为3时,三位数为,共1个.三个数字依次成等差数列的有1个.当个位数为4时,三位数为,共3个.三个数字依次成等差数列的为,有1个当个位数为5时,三位数为,共6个.三个数字成等差数列的为有2个.当个位数为6时,三位数为共10个.三个数字成等差数列的为,有2个.当个位数为7时,三位数为共15个,三个数字成等差数列的为,有3个.当个位数为8时,三位数为,.共21个, 三个数字成等差数列的为,有3个.当个位数为9时,三位数为,共个, 三个数字成等差数列的为,有4个.综上可知, “递增三位数”共有个.三个数字成等差数列的共有个则从所有的递增三位数中随机抽取一个,则其三个数字依次成等差数列的概率为，故答案为: 15（2020北京高三月考）1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“11”.1966年，我国数学家陈景润证明了“12”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是_.【答案】【解析】根据题意可知，不共有超过30的所有质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选取2个不同的数有种，和超过30的共有15种，所以两数之和不超过30的概率是
