专题01 构造函数的通法（解析版）.doc
冲刺50天系列之高三数学“高人一筹”特色强化训练【2020版】 专题01 构造函数的通法一、单选题1（2020福建省高三月考）函数的定义域为，其导函数为，且为偶函数，则（ ）A BC D【答案】A【解析】由于为偶函数，所以函数关于对称.由于，所以当时，递减，当时，递增.所以.故选：A2（2020河南省鹤壁高中高三）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，有，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】令，定义域为，因为函数为奇函数，则函数是定义在上的奇函数，因为，有，当时，则在上单调递减.则函数是上的奇函数并且单调递减，又等价于，即，又，因此，.故选：D.3（2020海原县第一中学高三期末）设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.4（2020六盘山高级中学高三期末）函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的x的范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】构造函数，则；因为对，都有成立，故可得在上恒成立，故是上的单调增函数.又因为，故可得，又不等式等价于，根据的性质，容易得不等式解集为.故选：B.5（2020贵州省高三月考）已知是函数的导数，且满足对恒成立，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，则，因为对恒成立，所以对恒成立，在区间上单调递增；又，是锐角三角形的两个内角，因此，即，.故选：C.6（2020吉林省高三月考）已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则，定义域为的函数满足，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D7（2020黑龙江省大庆实验中学高三期末）已知函数，若函数为常数)有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】当时，令，则时，单调递增，；时，单调递增，当时，二次函数，开口向上，对称轴，且时，单调递减，；时，单调递增，.因为函数为常数)有三个零点，则曲线与直线有三个交点，则，故选：B.8（2020四川省石室中学高三月考）已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】令，故，令，解得，故函数在区间单调递减，在单调递增，且在处，取得最小值.根据与图像之间的关系，即可绘制函数的图像如下：令，结合图像，根据题意若要满足有四个根， 只需方程的两根与满足：其中一个根，另一个根或.当方程的一个根，另一个根，将代入，可得矛盾，故此种情况不可能发生；当方程的一个根，另一个根，要满足题意，只需即可即，解得.故选：B.二、填空题9（2020江苏省高三期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的解集为_.【答案】【解析】令，则，所以函数在上单调递减，因为，即，所以，解得.故答案为：10（2020湖南省常德市一中高三期末）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为_【答案】【解析】设F（x），则F（x），F（x）0，即函数F（x）在定义域上单调递增，即F（x）F（2x），即x1不等式的解为11（2020河南省高三期末）已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为_.【答案】【解析】依题意，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：12（2020河南省高三）函数定义域是,其导函数为,满足,且,则关于的不等式的解集是_.【答案】【解析】令,则即单调递增,则由可得,.故答案为:13（2020江苏省高三期末）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示：若存在实数满足，根据图像可得，所以，即，则，令，当时，在区间上单调递增，所以，即.三、解答题14（2020河北省高三月考）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】(1)的定义域为，对于函数，当时，即时，在恒成立.在恒成立.在为增函数；当，即或时， 当时，由，得或，在为增函数，减函数.为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数。综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数。（2），存在不动点，方程有实数根，即有解，令，令，得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 当时，有不动点，的范围为.15（2020广西壮族自治区高三）已知函数，是实数.（1）当时，求证：在定义域内是增函数；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）只有一个零点.【解析】（1）函数的定义域为，且，令，则，令.当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，即对任意的恒成立.因此，函数在定义域上为增函数；（2）由，可得，设，其中，则，令，则，令.当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，对任意的，即函数在上单调递增，当时，当时，.对任意的，直线与函数的图象有且只有一个交点.因此，函数有且只有一个零点.16（2020山西省大同一中高三月考）已知函数，实数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题知的定义域为，.，由可得.（i）当时，当时，单递减；（ii）当时，当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由题意：不等式在成立即在时有解.设，只需.则，因为，所以在上，在上，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此.不等式在成立，则恒成立.又，所以恒成立.令，则.在上，单调递增；在上，单调递减.所以.因此解可得且，即且.所以实数a的取值范围是.
