华南理工大学高等数学统考试卷下07期中卷答案.doc

2007-2008高等数学下册期中考试试卷姓名： 班级： 成绩单号： 一、 填空题（）1、4分 与直线及都平行，且过原点的平面方程为 2、4分设可微，则各为3、4分设，则4、4分 设函数在点的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向5、4分曲面在点处的切平面方程为，法线方程为二、 （8分）设，求 解：，三、 （8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定了是的函数，试求解：，解出从而 四、 8分 求函数在点的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数解：，则沿梯度方向上函数的方向导数为五、 8分设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。解： 由曲面得切平面法向量从而有切平面方程为由直线得：从而；六、 8分 计算二重积分，其中解： 用将区域划分为两个七、 8分 计算解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易原式八、 8分 计算，其中为平面曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面所围的区域。解：由交线知在xoy面上的投影域为用柱坐标计算 九、 8分 设由曲面与所围成的立体中每点的密度与该点到xoy平面距离成正比，试求该立体的质量M解：由交线知在xoy面上的投影域为用柱坐标计算 十、 计算，其中解：令，由对称性原式= 十一、 8分在曲线上求一点，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大解：令从而切平面为，四面体的体积为问题等价为在条件下的最大值令则由推出，由约束条件知由问题的实际意义与驻点的惟一性知，就是我们要求的点。十二、 附加题5分 计算积分，式中曲线是在上的一段弧。解：曲线可以表示为十三、 附加题5分 计算积分，其中是球面被锥面所截的部分解：由交线知曲面在xoy面上的投影域为十四、 附加题10分 计算积分，其中是抛物面被平面所截下的有限部分解：由交线知曲面在xoy面上的投影域为由对称性知共5页第5页