艺术生高考数学专题讲义：考点19 三角恒等变换.doc

考点十九 三角恒等变换知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin (S()sin()sin cos cos sin (S()cos()cos cos sin sin (C()cos()cos cos sin sin (C()tan()(T()tan()(T()2二倍角公式sin 22sin cos (S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2 (C2)tan 2 (T2)3公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等常见变形如下：降幂公式：cos2，sin2，升幂公式：1cos 22 cos2，1cos 22sin21cos 2cos2，1cos 2sin2.正切和差公式变形：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan 11.配方变形：1sin (sincos)2，1sin (sincos)2.4辅助角公式asin bcos sin()，其中tan .典例剖析题型一 给角求值例1(1) 计算cos 42 cos 18cos 48 cos 72的值为_(2)计算的值为_答案(1) (2) 解析(1) cos 42 cos 18cos 48 cos 72cos 42 cos 18sin 42 sin 18cos (4218) cos 60.(2) cos2155sin2155cos 310cos 50. .变式训练 _答案 解析 原式sin 30.解题要点 解题时先看角，观察是否有30、60、90等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.题型二 给值求值例2已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解析 (1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscoscos 2sinsin 2.题型三 利用角的凑配求值例3已知tan()，tan，那么tan等于_答案解析因为，所以()，所以tantan.变式训练 已知cos ，cos()，且，则cos()的值等于_答案解析，2(0，)cos ，cos 22cos21，sin 2，而，(0，)，sin()，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()().解题要点 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的凑配技巧：2()()，()，()()等题型四 辅助角公式例4(2015安徽文)已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)sin2 xcos2 x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.变式训练函数f(x)sin xcos(x)的最大值为_答案1解析 f(x)sin xcos cos xsin sin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.解题要点 利用辅助角公式将asin xbcos x化为Asin(x)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角对于计算形如ysin(x), xa，b形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.当堂练习1(2015新课标理)sin 20cos 10cos 160sin 10_答案解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2若，则tan2_答案 解析 由，得tan3，tan2，选B项3. 已知cos()，则sin(2)的值为_答案 解析 由cos()，得cos(2)2()21.所以sin(2)sin(2)cos(2).4若函数f(x)sin2(x)cos2(x)1，则函数f(x)是_ 周期为的偶函数 周期为2的偶函数 周期为2的奇函数 周期为的奇函数答案 解析 f(x)sin2(x)sin2(x)12sin2(x)1cos(2x)sin2x故正确5(2015北京理)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解析(1)因为f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.课后作业一、 填空题1已知cos，cos()，都是锐角，则cos_答案 解析 ，是锐角，0<<，又cos()<0，<<，sin()，sin.又coscos()cos()cossin()sin.2sin75cos30sin15sin150的值为_答案 解析 sin75cos30sin15sin150sin75cos30cos75sin30sin(7530)sin45.3(2015陕西文)“sin cos ”是“cos 20”的_条件答案充分不必要解析sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin / sin cos ，故为选充分不必要条件.4若cos，为第三象限角，则sin_答案 解析 为第三象限角，cos，sin，sinsincoscossin.5_答案解析sin47sin(3017)sin30cos17cos30sin17，原式sin30.6已知tan()，tan，那么tan等于_答案 解析 ，()，tantan.7已知sin，则sin2x的值为_答案 解析 sin2xcos12sin212.8已知，sin，则tan2_答案 解析 ，sin，cos，tan.tan2.9(2015四川理)sin 15sin 75的值是_答案解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.10已知cos()，(0，)，则cos_.答案 解析 (0，)，cos()>0，(0，)，(，)，sin()，coscos()cos()cossin()sin.11 (2015浙江理)函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_答案(kZ)解析f(x)sin 2x1sin，T，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，单调递减区间是，kZ.二、解答题12 (2015重庆理)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解析(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减13若sin，cos，且0<<<<，求cos()的值解析 0<<<<，<<，<<0.又sin，cos，cos，sin，cos()sinsinsincoscossin.