艺术生高考数学专题讲义：考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

考点四十一 直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点2. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：AxByC0(A，B不全为0)，圆为(xa)2(yb)2r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离d>r<03. 圆与圆的位置关系及判断方法(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)圆心距O1O2d，则方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况两圆公切线的条数相离d>r1r2无解4外切dr1r2一组实数解3相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解2内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解1内含0d<|r1r2|(r1r2)无解04. 圆的切线的常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.5求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2r2d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题6相交两圆公共弦所在直线方程求法设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)将两圆方程相减，得到关于x和y的一次方程，即为公共弦所在直线方程典例剖析题型一 判断直线与圆的位置关系例1直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是_答案相交解析直线yax1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x1)2y24的内部，故直线与圆相交变式训练 已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆D的位置关系是_答案 相交解析 由点M在圆外，得a2b2>1，圆心D到直线axby1的距离d<1r，则直线与圆O相交解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程随后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题题型二 直线与圆相交弦长问题例2在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案 解析 因为圆心(2，1)到直线x2y30的距离d，所以直线x2y30被圆截得的弦长为2.变式训练 已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是_答案4解析由圆的方程x2y22x2ya0可得，圆心为(1，1)，半径r.圆心到直线xy20的距离为d.由r2d2，得2a24，所以a4.解题要点 与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解题型三 直线与圆相切问题例3过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_；答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，所求切线方程为x2或4x3y40.变式训练 过坐标原点且与圆x24xy220相切的直线方程为_答案 yx解析 圆的标准方程为(x2)2y22.则圆心(2,0)，半径r.设直线方程为ykx.则，解得k1，所以直线方程为yx.例4过点P(4，1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_答案3xy40解析 方法1：如图所示，A点的坐标为(1，1)，ABPC，kPC，kAB3，直线AB的方程为y13(x1)，即3xy40.方法2：把点P代入切点弦公式，得方程为：(41) (x1) 1y1，即方程为3xy40.解题要点 过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题过圆(xa)2(yb)2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为x0xy0yr2.题型四 圆与圆的位置关系问题例5圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_答案 相交解析两圆圆心分别为(2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d32<d<32，两圆相交变式训练 过两圆x2y26x4y0及x2y24x2y40的交点的直线方程是_答案 xy20解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2y26x4y(x2y24x2y4)0，即xy20解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于x和y的一次方程，即为公共弦所在直线方程当堂练习1设直线l过点P(2，0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是_答案 解析 设l：yk(x2)，即kxy2k0，又l与圆相切，1，k2直线xy30被圆(x2)2(y2)22截得的弦长等于_答案 解析 圆心为(2，2)，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由勾股定理求出弦长的一半为，所以弦长为3. 直线xky10与圆x2y21的位置关系是_答案 相交或相切解析 直线xky10过定点(1，0)，而点(1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交4圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_答案 xy20解析 设所求切线方程为yk(x1)x24x(kxk)20该二次方程应有两个相等实根，则0，解得ky(x1)，即xy205直线yxb与曲线y有两个公共点，则b的取值范围是_答案 1b<解析 曲线为x2y21(y0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1b<课后作业一、 填空题1将圆x2y22x4y10平分的直线是_答案 xy102过两圆x2y23x2y0及x2y22x6y40的交点的直线方程是_答案 x4y40解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2y23x2y(x2y22x6y4)0，即x4y403已知直线l：yk(x1)与圆x2y21相切，则直线l的倾斜角为_答案解析由题意知，1，k.直线l的倾斜角为.4若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x2y0截得的弦长为4，则圆C的方程是_答案(x)2y25解析设圆心为(a,0)(a<0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d1，解得a，所以，所求圆的方程为(x)2y25.5若过点P(1，)作圆O：x2y21的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|_答案解析如图所示，PA，PB分别为圆O：x2y21的切线，OAAP.P(1，)，O(0,0)，|OP|2.又|OA|1，在RtAPO中，cosAOP.AOP60，|AB|2|AO|sinAOP.6过点(1,1)的直线与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_答案 4解析 点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|224.7已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则_答案 l与C相交解析 320439123<0，点P(3,0)在圆内，直线l与圆C相交8在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A、B两点，则弦AB的长等于_答案 2解析 圆心到直线3x4y50的距离d1，弦AB22.9设直线l截圆x2y22y0所得弦AB的中点为(，)，则直线l的方程为_；|AB|_答案 xy20 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xy2y10，xy2y20，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)2(y1y2)0，kAB1故l的方程为y1(x)，即xy20又圆心为(0，1)，半径r1，故|AB|10设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_答案(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28解析由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22222a2，解得a2，r22a28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.11若圆x2y24与圆x2y22ay60(a>0)的公共弦长为2，则a_.答案 1解析 方程x2y22ay60与x2y24.相减得2ay2，则y.由已知条件，即a1.二、解答题12一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程解析所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r3|a|.又圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线yx的距离为d.有d2()2r2.即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.13已知：圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程解析 将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2.解得a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.