艺术生高考数学专题讲义：考点13 导数与函数的单调性.doc
考点十三 导数与函数的单调性知识梳理1函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f(x)>0，那么函数yf(x)为该区间上的增函数；如果f(x)<0，那么函数yf(x)为该区间上的减函数二者关系：(1)f(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件，这是因为f(x)>0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在R上单调递增，但f(x)3x20，所以f(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要.(2)f(x)0(或0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)0不恒成立)典例剖析题型一 利用导数证明函数的单调性例1求证函数yx在1, )内为增函数解析 y1当x>1时，x21>0，y>0，函数yx在1, )内为增函数变式训练 求证函数yx3x2x在R上是增函数解析y3x2+2x1=3(x)2显然对任意xR，均有y>0，函数yx3x2x在R上是增函数题型二 求函数的单调区间例2已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)>0；当x(1，)时，h(x)<0.又ex>0，所以x(0,1)时，f(x)>0；x(1，)时，f(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)变式训练 (1)函数f(x)的单调递减区间是_(2) 已知函数f(x)4xx4，xR，则f(x)的单调递增区间为_答案(1) (0,1)，(1，e) (2) (，1)解析(1) f(x)，令f(x)<0，得0<x<1或1<x<e，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)(2)解由f(x)4xx4，可得f(x)44x3.当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增，所以，f(x)的单调递增区间为(，1)解题要点 求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间题型三 由函数的单调性求参数范围问题例3已知函数f(x)x3ax1.(1) 若a3时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围解析(1) 当a3时，f(x)x33x1， f(x)3x23，令f(x)>0即3x23>0，解得x>1或x<1， f(x)的单调增区间为(，1)、(1，)，同理可求f(x)的单调减区间为(1，1)(2) f(x)3x2a. f(x)在实数集R上单调递增， f(x)0恒成立，即3x2a0恒成立， a(3x2)min. 3x2的最小值为0， a0.变式训练 已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解析f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令exa0，则exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立e2<ex<e3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3<0在x(2,3)上恒成立，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上为减函数解题要点 已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题,由函数f(x)在区间a，b内单调递增(或递减)，可得f(x)0(或0)在该区间恒成立，而不是f(x)>0(或<0)恒成立，“”不能少，否则漏解题型四 函数存在单调区间或不单调求参数范围问题例4设f(x)x3x22ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围解析f(x)x2x2a由题意知f(x) >0在上有解，即x2x2a>0，2a>x2x，令g(x)x2x，g(x)>g.即a>.a的取值范围为.变式训练 已知函数f(x)2x2axln x在其定义域上不单调，求实数a的取值范围解析函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)2x2axln x，所以f(x)4xa(4x2ax1)由函数f(x)在区间(0，)上不单调可知，f(x)0有两个正解，即4x2ax10有两个正解，设为x1，x2.故有解得a>4.所以实数a的取值范围为(4，)解题要点 函数在区间D上存在单调递增区间，即在区间D上f(x) >0能成立，分离变量后可求参数范围.需注意，a>f(x)能成立，只需a>f(x)min，a<f(x)能成立，则a<f(x)max当堂练习1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_答案 (2，)解析 由题意知，f(x)ex(x3)ex(x2)ex.由f(x)>0得x>2.2函数f(x)x22ln x的单调减区间是_答案(0,1)解析f(x)2x(x>0)当x(0,1)时，f(x)<0，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)为增函数3. 若函数ycos xax在上是增函数，则实数a的取值范围是_答案 1，)解析 ysin xa，若函数在上是增函数，则asin x在上恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是1，)4函数f(x)1xsin x在(0，2)上的单调情况是_答案 单调递增解析 在(0，2)上有f(x)1cos x>0，所以f(x)在(0，2)上单调递增5函数f(x)exx的单调递增区间是_答案 (0，)解析 f(x)exx，f(x)ex1，由f(x)>0，得ex1>0，即x>0.课后作业一、 填空题1函数yx2(x3)的单调递减区间是_答案(0,2)解析y3x26x，由y0，得0x2.2函数y(3x2)ex的单调递增区间是_答案 (3,1)解析 y2xex(3x2)exex(x22x3)，由y>0x22x3<03<x<1，函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1).3函数f(x)xelnx的单调递增区间为_答案 (0，)解析 函数定义域为(0，)，f(x)1>0，故单调增区间是(0，)4函数f(x)=xln x，则_在(0，+)上是增加的 在(0，+)上是减少的在(0，)上是增加的 在(0，)上是减少的答案解析 因为函数f(x)=xln x，所以f(x)=ln x+1，f(x)>0，解得x>，则函数的单调增区间为(,+)，又f(x)<0，解得0<x<，则函数的单调减区间为(0,)，故选.5函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)6已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件答案 充分不必要解析 f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件7若函数ya(x3x)的单调递减区间为(，)，则实数a的取值范围是_答案a0解析ya(3x21)，解3x210，得x.f(x)x3x在(，)上为减函数又ya(x3x)的单调递减区间为(，)，a0.8设函数f(x)x29lnx在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是_答案 1<a2解析 f(x)x29lnx，f(x)x(x>0)，当x0时，有0<x3，即在(0,3上函数f(x)是减函数，a1>0，a13，解得1<a2.9函数f(x)的单调递减区间是_答案 (0,1)，(1，e)解析 f(x)，令f(x)<0，得0<x<1或1<x<e，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)10若函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.11已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_答案 b<1或b>3解析 yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<1或b>3.二、解答题12(2015天津文节选)已知函数f(x)4xx4，xR.求f(x)的单调区间；解析由f(x)4xx4，可得f(x)44x3.当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)13已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的极值和单调区间解析因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1) ！
