专题强化训练19.doc
专题强化训练(十九)1(2020长沙一模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC平面AA1B1B，且AC2，点E为A1C1的中点(1)证明：平面ACB1平面B1CE；(2)若ABB160，求直线BC与平面B1CE所成角的正弦值解(1)证明：连接BA1，交AB1于点O，设B1C中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为B1A，B1C的中点，所以OFAC，且OFAC.因为A1C1AC，A1C1AC，且A1EA1C1，所以OFA1E，且OFA1E.所以四边形OFEA1为平行四边形，所以OA1EF，即BA1EF.因为AC平面AA1B1B，BA1平面AA1B1B，所以ACBA1，因为四边形AA1B1B是菱形，所以BA1AB1.因为AB1ACA，所以BA1平面ACB1.因为BA1EF，所以EF平面ACB1.因为EF平面B1CE，所以平面ACB1平面B1CE.(2)因为ABB160，四边形AA1B1B是边长为2的菱形，故ABB1为等边三角形设BB1的中点为M，连接AM，则AMBB1.以A为原点，AM，AA1，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则C(0,0,2)，B1(，1,0)，E(0,2,1)，B(，1,0)，(，1，2)，(，1,1)，(，1,2)，设平面B1CE的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则所以n(，1,2)设直线BC与平面B1CE所成角为，则sin|cos，n|，即直线BC与平面B1CE所成角的正弦值为.2(2020贵阳质检)如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且ACBC，P为弧上(不与A1，B1重合)的动点(1)证明：PA1平面PBB1；(2)若四边形ABB1A1为正方形，且ACBC，PB1A1，求二面角PA1B1C的余弦值解(1)证明：在半圆柱中，BB1平面PA1B1，所以BB1PA1.因为A1B1是直径，所以PA1PB1.因为PB1BB1B1，PB1平面PBB1，BB1平面PBB1，所以PA1平面PBB1.(2)以C为坐标原点，分别以CB，CA所在直线为x轴，y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示设CB1，则C(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0,1,0)，A1(0,1，)，B1(1,0，)，P(1,1，)所以(0,1，)，(1,0，)平面PA1B1的一个法向量为n(0,0,1)设平面CA1B1的法向量为n2(x，y，z)，则令z1，则所以可取n2(，1)，所以cosn1，n2.由图可知二面角PA1B1C为钝角，所以所求二面角的余弦值为.3.(2020石家庄二模)如图，EC平面ABC，BDEC，ACABBDEC2，点F为线段DE上的动点(1)试在BC上找一点O，使得AOCF，并证明；(2)在第(1)问的基础上，若ABAC，则平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小可否为？解(1)证明：BC的中点即为所找的点O.ABAC，AOBC，又EC平面ABC，AO平面ABC，ECAO.BCECC，BC平面BDEC，EC平面BDEC，AO平面BDEC.又CF平面BDEC，AOCF.(2)以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0，2,4)，D(2,0,2)，O(1，1,0)，(1，1,0)，(2,2，2)设(01)，则可得F(2，22,42)，则(2，22,42)设平面AOF的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则m为平面AOF的一个法向量易得平面ACE的一个法向量为n(1,0,0)令|cosm，n|，解得.故当F为DE的中点时，平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为.4(2020海口模拟)如图，在四边形ABED中，ABDE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，ACBCCD2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45.(1)求证：平面PBC平面DEBC；(2)求二面角DPEB的余弦值解(1)证明：因为ABCD，ABBE，所以CDEB，因为ACCD，所以PCCD，所以EBPC，且PCBCC，所以EB平面PBC，又因为EB平面DEBC，所以平面PBC平面DEBC.(2)由(1)知EB平面PBC，所以EBPB，由PE与平面PBC所成的角为45得EPB45，所以PBE为等腰直角三角形，所以PBEB.因为ABDE，结合CDEB得BECD2，所以PB2，故PBC为等边三角形，取BC的中点O，连接PO，则POBC，平面PBC平面DEBC，平面PBC平面DEBCBC，PO平面PBC，所以PO平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，是B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，1,0)，P(0,0，)，从而(0,2,0)，(2,0,0)，(2,1，)设平面PDE的一个法向量为m(x，y，z)，平面PEB的一个法向量为n(a，b，c)，则由得令z2得m(，0，2)，由得令c1得n(0，1)，设二面角DPEB的大小为，则cos，即二面角DPEB的余弦值为.
