课后跟踪训练57.doc
课后跟踪训练(五十七)基础巩固练一、选择题1已知椭圆mx24y21的离心率为，则实数m等于()A2 B2或 C2或6 D2或8解析显然m>0且m4，当0<m<4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m2；当m>4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8.故选D.答案D2(2019天津河北区模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率为，则该椭圆的标准方程为()A.y21 By21C.y21 Dx21解析由题意设椭圆方程为1(a>b>0)，则2b2，故b1.又，a2b2c2，a25，椭圆C的标准方程为y21.故选A.答案A3(2019黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：y21的左焦点为F，直线l：ykx(k0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|BF|的值是()A2 B2 C4 D4解析设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2.因为|OA|OB|，|OF|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|AF2|，所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.故选C.答案C4已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B1C.1 D1解析由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2>|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.答案D5(2019昆明市高三质检)已知F是椭圆E：1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|2|QF|，且PFQ120，则椭圆E的离心率为()A. B C D解析解法一：设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|PF1|，FPF1180PFQ60.根据椭圆的定义，得|PF|PF1|2a，又|PF|2|QF|，所以|PF1|a，|PF|a，而|F1F|2c，在F1PF中，由余弦定理，得(2c)2222aacos60，解得，所以椭圆E的离心率e.故选C.解法二：设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1.根据对称性，知线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|PF1|，FPF1180PFQ60，又|FP|2|PF1|，所以FPF1是直角三角形，FF1P90，不妨设|PF1|1，则|FP|2，|FF1|2c，根据椭圆的定义，得2a|PF|PF1|123，所以椭圆E的离心率e.故选C.答案C二、填空题6(2019安徽黄山一模)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_.解析圆(x2)2y21经过椭圆1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1,0)，一个顶点为A(3,0)，所以c1，a3，因此椭圆的离心率为.答案7(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)答案(3，)8(2019河南郑州三模)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是_解析如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.答案三、解答题9分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t2>0)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为1或1.10.如图，椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此，e.能力提升练11(2019辽宁大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A. B C D解析由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2cb(2a2c)，得a2c，即e，故选C.答案C12(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B1C.1 D1解析由题意设椭圆的方程为1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin.在等腰三角形ABF1中，cos2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.答案B13(2020云南昆明质检)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(3,0)或(3,0)答案(3,0)或(3,0)14已知椭圆1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.拓展延伸练15(2019广东中山一模)设椭圆：1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A. B C D解析如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且，即，解得e.故选B.答案B16(2020广州市高三毕业班综合测试)已知F1，F2分别是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B C D解析解法一：设P(x0，y0)，由题易知|x0|<a，因为F1PF2为钝角，所以<0有解，即c2>xy有解，即c2>(xy)min，又yb2x，x<a2，故xyb2xb2，a2)，所以(xy)minb2，故c2>b2，又b2a2c2，所以e2>，解得e>，又0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是，故选A.解法二：椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点b<c，如图，由b<c，得a2c2<c2，即a2<2c2，解得e>，又0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是，故选A.答案A
