课后跟踪训练77.doc
课后跟踪训练(七十七)基础巩固练一、选择题1已知随机变量X服从正态分布N(，2)，且P(X3)P(X1)，若P(0<X<4)0.7，则P(X<0)()A0.35 B0.25 C0.15 D0.05解析由P(X3)P(X1)可知，正态曲线的对称轴为直线(13)，即直线2，故P(0<X<2)P(0<X<4)0.35，由正态曲线的对称性可得P(X<2)0.5，所以P(X<0)P(X<2)P(0<X<2)0.50.350.15，故选C.答案C2(2020厦门一中月考)如果随机变量XN(2,22)，若P(X<a)0.2，则P(X<4a)()A0.2 B0.4 C0.6 D0.8解析根据正态分布密度曲线的对称性，知P(X>4a)P(X<a)0.2，根据正态分布密度曲线与x轴所围成的图形面积等于1和P(X4a)0得，P(X<4a)1P(X4a)1P(X>4a)0.8.答案D3设随机变量服从正态分布N(2，2)，则函数f(x)2x24x不存在零点的概率为()A. B C D解析由函数f(x)2x24x不存在零点，令f(x)0得168<0，解得>2，又随机变量服从正态分布N(2，2)，所以P(>2)，即函数f(x)2x24x不存在零点的概率为，故选A.答案A4(2020合肥一中月考)如果随机变量XN(，2)，且E(X)3，D(X)1，则P(0<X<1)等于()A0.210 B0.003 C0.681 D0.0214解析XN(3,12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)0.0214.故选D.答案D5已知4展开式中的常数项为a，且XN(1,1)，则P(3<X<a)()(附：若随机变量XN(，2)，则P(<X<)68.27%，P(2<X<2)95.45%，P(3<X<3)99.73%)A0.043 B0.0214C0.3413 D0.4772解析因为4展开式中的常数项为a，所以aC3x64.因为XN(1,1)，所以正态曲线关于直线x1对称，因为P(1<X<3)P(12<X<12)95.45%，P(2<X<4)P(13<X<13)99.73%，所以P(3<X<4)P(2<X<4)P(1<X<3)(99.73%95.45%)0.0214，故选B.答案B二、填空题6在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(>0)，若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_解析由正态分布N(1，2)(>0)的图象关于直线x1对称，且在(0,1)内取值的概率为0.4，知在(1,2)内取值的概率也为0.4，故在(0,2)内取值的概率为0.8.答案0.87(2019云南省高三统一检测)某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，2)若分数在(70,110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_解析记考试成绩为，则考试成绩的正态曲线关于直线90对称因为P(70<110)0.7，所以P(70)P(>110)(10.7)0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为10000.15150.答案1508(2020南宁三中月考)已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)e(xR)的图象，若f(x)dx，则P(X<0)_.解析因为正态分布密度曲线为函数f(x)e(xR)的图象，所以总体的期望1，标准差1，故函数f(x)的图象关于直线x1对称又 f(x)dxP(0<X<1)，所以P(X<0)P(0<X<1).答案三、解答题9已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1000，2)，且P(X<800)0.2，P(X1300)0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1200,1300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在800,1200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)解(1)因为XN(1000，2)，P(X<800)0.2，P(X1300)0.02，所以P(1200X<1300)P(X1300)P(X1200)P(X<800)0.2.所以P(1200X<1300)0.20.020.18.故抽取的产品的使用寿命在1200,1300)的概率为0.18.(2)因为P(800X<1200)12P(X<800)120.20.6，所以YB(3,0.6)P(Y0)C0.60(10.6)30.064，P(Y1)C0.6(10.6)20.288，P(Y2)C0.62(10.6)0.432，P(Y3)C0.63(10.6)00.216.所以Y的分布列为Y0123P0.0640.2880.4320.216所以E(Y)30.61.8.10(2019银川统考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8 <Z<212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(<Z<)0.6827，P(2<Z<2)0.9545.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.6827.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827，依题意知XB(100,0.6827)，所以E(X)1000.682768.27.能力提升练11(2019海南海口期末)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)0.5，P(X>2)0.3，则P(X<0)()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8解析随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于xa对称，且P(X>a)0.5.由P(X>1)0.5，可知a1，所以P(X<0)P(X>2)0.3，故选B.答案B12(2019湖北四地七校联盟模拟)设随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(<1)0.2，则函数f(x)x3x22x没有极值点的概率是()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8解析函数f(x)x3x22x没有极值点，f(x)x22x20无解或只有一解，4420，1或1，随机变量服从正态分布N(1，2)，P(<1)0.2.P(<1或>1)0.20.50.7，故选C.答案C13(2019湖北孝感期末)已知随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(>3)0.028，则P(11)_.解析因为随机变量服从正态分布N(1，2)，所以P(<1)P(>3)0.028，所以P(13)1P(<1)P(>3)10.0280.0280.944，所以P(11)P(13)0.472.答案0.47214(2019安徽安庆二模)为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值的范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次，每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg)根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品中其主要药理成分含量服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3，3)之外的药品件数，求P(X1)(精确到0.001)及X的数学期望；(2)在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在(3，3)之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在(3，3)之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.9510.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得i9.96，s 0.19.其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量(i1,2，20)用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？试确定一天中需停止生产并对原材料进行检验的概率(精确到0.001)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3<Z<3)0.9973,0.9973190.9499,0.9973200.9473,0.052720.0028,0.947320.8974.解(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3，3)之内的概率为0.9973，从而主要药理成分含量在(3，3)之外的概率为0.0027，故XB(20,0.0027)因此P(X1)C(0.9973)190.00270.0513，X的数学期望E(X)200.00270.054.(2)由9.96，s0.19，得的估计值9.96，的估计值0.19，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在(3，3)(9.39,10.53)之外，因此需对本次的生产过程进行检查设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P(A)1P(X0)201(0.9973)2010.94730.0527；如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在(3，3)之外的药品，故概率P3P(A)21P(A)23(0.0527)2(0.9473)20.008.故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.008.拓展延伸练15以(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布N(，2)，则概率P(|<)等于()A()() B(1)(1)C D2()解析由题意，得P(|<)P(|<1)(1)(1)故选B.答案B16在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_附：若XN(，2)，则P(<X<)0.6827，P(2<X<2)0.9545.解析因为XN(1,1)，所以正态曲线关于直线x1对称因为P(3<X<1)P(12<X<12)0.9545，所以P(1<X<1)P(3<X<1)0.95450.4775；因为P(2<X<0)P(11<X<11)0.6827，所以P(1<X<0)P(2<X<0)0.68270.34135，所以P(0<X<1)P(1<X<1)P(1<X<0)0.477250.341350.1359，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为0.1359200002718.答案2718
