数学：第22章一元二次方程全章导学案.doc

22.1 一元二次方程 导学案学习目标：1. 能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）；在这一过程中，体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具2. 知道一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数及常数项学习过程：一、复习：列方程解应用题有哪些步骤？问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两棟楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（设宽为x米，列方程）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。（设平均增长率为x，列方程不用求解）22问题3 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形呢？根据题意，列出方程（不必求解）二、探索新知：将上述三个方程展开并按x的降幂排列，观察是一元一次方程吗？它们有何共同点？ _ _ _满足上述3个条件的方程，就是一元二次方程一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：_（a、b、c是已知数，a0）注意： ax2叫做_，其中a叫做_ bx叫做_，其中b叫做_ c叫做_ 为什么要a0？若a0且b0，则它是_说明：一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a0）具有两个特征： 方程的右边为0； 左边的二次项系数、一次项系数和常数项都要包括它前面的符号。三、课堂练习：1.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程中的二次项系数、一次项系数和常数项：课堂检测：1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？请说明理由。 3x25x3 2. (x3)(3x4)(x2)2化为一般形式为_，二次项系数是_、一次项是_、常数项_、3. 当a_时，关于x的方程是一元二次方程。4. 已知关于x的一元二次方程（m1）x23x5m40有一个解为2 ，求m5. 已知m是方程x2x60的一个根，则代数式m2m的值为_你本节课的收获有哪些？教学反思：一元二次方程是学生学习了一元一次方程和二元一次方程组之后所接触的第三类方程，所以对于的它的概念，学生很容易理解。我通过三个实际问题，让学生经历了二次项的产生过程，之后让学生来归纳出一元二次方程的三个特点只有一个未知数；未知数的最高次数是2次方程两边都是整式。本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，但在练习中也会有不少学生会把二次项和一次项位置写反掉，或是在写系数时没有带上符号。22.2 一元二次方程的解法1-直接开平方法学习目标： 学习过程：一、复习：1. 一元二次方程需要满足的三个条件是什么？2. 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 53x2 y22(y1)(2y1)(2y1)3. 若x2a，则x叫做a 的_ 符号： x2a x_4. 36平方根是_，的平方根是_二、新课：1. 如何解方程x24根据平方根的定义，由x24可知，x就是4的平方根。因此x的值为2和2即 x24 x±2 即此一元二次方程的解为：x12，x22这种利用平方根的定义来解一元二次方程的解法叫做_2. 若是方程2x21，你能否转化为类似第1题中的方程来解？若是4x210呢？解方程： 2x21 4x2103. 方程，它又与第1题中的方程有何区别？（1）根据提示，完成下面解题过程:由方程，得 _即 _； _ x1_； x2_（2） 方程 与（1）中的方程有什么区别？它又如何来解呢？方程 呢？请解答解方程：归纳：用直接开平方法解一元二次方程的步骤： _ _用直接开平方法解一元二次方程实质是将方程降幂，化为两个一元一次方程课堂检测：解方程： (1) x2=5 (2) （3）3x290 （4） (5) 9t260 (6) (7)3（2x1）2150本节课你有什么收获？教学反思：本节通过平方根，来引入如何用直接开平方法解一元二次方程。目的在于进一步加深学生对定义的掌握,提高学生对变式的理解能力。采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。另外，让学生通过自主探究,如何运用直接开平方法，从而达到真正理解并掌握的目的。本节课较容易掌握，但对于整体思想还有待进一步提高。一元二次方程的解法2-因式分解法学习目标： 1. 知道具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法 2. 会用因式分解法来解一元二次方程学习过程：一、复习：1.形如_的一元二次方程可以用直接开平方法来解2.解方程：4x224 2(3x1)2100二、探索新知1. 阅读课本，可知，因式分解法适用于_的一元二次方程2. 因式分解法的根据是：若a·b0，则a0或b0。这样，就把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降幂的目的3. 说出下列方程的根 x(x8)0 (3x1)(2x5)04. 方程x24能否用因式分解法来解？试试看。解方程：x28x0 (5x7)(4x1)0 4x290 9x26x10 (x1)2250 x3x(x3) 3x(x1)2(1x) (3x5)23x15 本节课你有什么收获？教学反思： 教学时可以让学生先各自求解，然后进行交流，发现分解因式是解某些一元二次方程较为简便的方法。利用分解因式法解题时，要求熟练掌握平方差公式和完全平方公式。同学会背公式，但运用不熟练。另外，介绍了十字相乘法，大部分同学还是很喜欢的！对策：我将在以后的教学中对自己存在的优点我会继续保持，针对不足我将会不断地改进，使自己的课堂教学逐步走上一个新的台阶。一元二次方程的解法3-配方法学习目标：掌握配方法的步骤，能熟练地运用配方法解一元二次方程学习过程：一、复习1. 写出完全平方公式：_，_2. 填空（1）+6x+( )=(x+ )； （2）-8x+( )=(x- )；（3）+( )=(x+ ) （4）（5）3. 上述个5式子中，一次项系数和常数项有什么关系？4. 解方程：(x3)2=5二、新课问题1. 方程(x3)2=5与x26x40有什么关系？如何解方程x26x40呢？x26x40问题2. 能否将方程x26x40化为(mxn)2=p的形式？阅读课本，完成下图。（移项：把常数项移往方程的右边）（配方：方程两边都加上_ 左边写成完全平方式 用直接开平方法解方程 像这种把方程变形为：左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而用直接开平方法来求解的方法叫做_。检测：1. 将方程x24x10配方后，原方程变形为_2. 解方程：x22x80 x26x1若二次项系数不为1呢？归纳：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤： _ _ _课堂检测：用配方法解下列方程（1）412x10 （2）32x30教学反思: 本节引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。 2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。 3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。 因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。 一元二次方程的解法4-公式法学习目标：经历探索求根公式的推导过程，提高逻辑思维能力 会用公式法解一元二次方程学习过程：一、复习1. 配方法的步骤是什么？2. 用配方法解方程： 7x80 abxc0（a0）二、新课1. 在用配方法解abxc0（a0）的过程中，为什么需要条件4ac0？若4ac0，会怎样呢？2. 一元二次方程abxc0的求根公式：_利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做_。应用求根公式应注意： 必须把方程化为一般形式 公式中的系数a、b、c应包括它前面的符号 4ac0阅读课本P28-30，用公式法解下列方程：（1）6x10； （2）2x6；（3）43x1x2； （4）3x（x3）2（x1）（x1）本节课你有哪些收获？教学反思: 通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。 本节课的重点主要有以下3点： 1. 找出a,b,c的相应的数值 2. 验判别式是否大于等于0 3. 当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根. 出现问题：1. a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号。 2. 求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多. 所以应该按步骤来写，才能收到更好的教学效果。 3让学生上台板演，可以及时发现问题、及时纠正。一元二次方程的解法习题课学习目标：能够选择合适的方法解一元二次方程学习过程：一元二次方程的解法有哪些？各自的适用范围是什么？ 若x2-2x=2，则2x2-4x3=_教学反思: 本节课以练为主，主要以学生为主体，让他们上台板演，并让学生进行讲解，真正地把课堂还给学生。但在某些问题上还是需要老师的讲解的。今后会多加培养小老师，在基础题上多加以训练巩固。一元二次方程根的判别式学习目标：能利用根的判别式判断方程的根的情况、能求字母系数的取值范围学习过程：1. 复习求根公式的推导过程2. 如何理解“4ac决定了一元二次方程的根的情况”这句话？3. 知识点：一元二次方程abxc0（a0）的根的判别式： 4ac0 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根 ；0 方程没有实数根根的判别式的应用 不解方程，判断根的情况。对于一元二次方程，下列说法正确的是（ ）A. 方程无实数根 B.方程有两个相等的实数根C. 方程有两个不相等的实数根 D.方程的根无法确定  根据方程的根的情况，确定待定系数的取值范围。已知关于的一元二次方程有两个实数根和求实数的取值范围；  证明含字母系数的方程有实数根或无实数根。  已知关于的一元二次方程（）.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根.（2）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值. 判断当字母为何值时，二次三项式是完全平方式若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是_ 若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是_教学反思：根的判别式是一个重点，本节课通过四种情况来讲解根的判别式的应用。采作分层教学，对于部分同学，证明的题目比较弱化。不同学生有不同的体会，尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。分四种情况进行讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。一元二次方程的根与系数的关系学习目标：知道韦达定理的推导过程 能利用韦达定理解决一些简单的问题学习过程：阅读课本，一般的，若、是一元二次方程pxq0（p、q为已知常数，4q0）的两个根，则_，_。利用求根公式证明你的结论。若、是一元二次方程abxc0（a0）的两个根，此时_， _。你是怎么得到的？说说你的方法这个式子反映了一元二次方程的两根与系数a，b，c之间的关系，称之为韦达定理。韦达定理的应用：1. 已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2. 求与已知方程的两个根有关的代数式的值3. 已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4. 已知两数的和与积，求这两个数5. 已知方程的两根、，求作一个新的一元二次方程。那么课堂检测：2. 若x1，x2是一元二次方程x23x+2=0的两根，则x1+x2的值是3. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ， 4. 一元二次方程和 所有实数根的乘积等于 5.（2012张家界）已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则= 6. 已知，是方程的两根，则（1）+ ；（2）（）（） 7. 写出一个根分别为3和1的一元二次方程：_教学反思：根与系数的关系，又称为韦达定理，是中考的一个考点，难点是定理的推导。常见的是二次项系数为1的情况，而二次项不为1的公式也给出。韦达定理很是灵活，可已知方程，再判断两根之和、两根之积；也可已知其中一根，求另一根；还可以结合字母的表达，等等。所以要多出点题型，多做多练，才能熟能生巧。22.3 一元二次方程的应用 导学案学习目标：会根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会到方程是刻画世界现实数量关系的有效模型；能根据问题的实际意义，检验所的的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的意识和能力学习过程： 1、一元二次方程的解法有哪些？各自的适用范围是什么？ 3、新课预习： 阅读课本 若小路形状如下图所示，其他条件不变，又该如何列方程？课堂检测：（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 根据题意，可列出方程 整理，得 解这个方程，得 合乎实际意义的解为 答：应邀请 支球队参赛阅读课本P26例8，它与课本P16的问题2有什么相似和不同之处？设增长（降低）前的数量为a，增长率（降低率）为x，增长（降低）的次数为n，增长（降低）后的数量为Q ，则Q_课堂检测：（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率是一样的，那么每次提价的百分率是 （2012广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？例（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？教学反思：运用一元二次方程解决实际问题,可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力，让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为学好一元二次方程添砖加瓦。让学生充分感受列方程的特点和步骤, 并强调解题格式。对于应用题，难点在于找等量关系。