证明不等式的基本方法.docx
证明不等式的基本方法考纲要求：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式2能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题基础真题体验考查角度利用均值不等式证明不等式1(2014·课标全国卷)若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由2(2014·课标全国卷)设函数f(x)|xa|(a>0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围考查角度利用柯西不等式证明不等式3(2014·福建高考)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23. 命题规律预测命题规律从近几年的高考试题看，利用基本不等式求最值和证明不等式是高考命题的热点，将绝对值不等式与函数相结合是命题的新动向考向预测预测2016年高考仍会以基本不等式为载体，重点考查不等式的最值求法和证明不等式，难度不大.考向一 不等式证明的基本方法 典例剖析【例1】证明下列不等式：(1)若ab0，则3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6c62a2b2c2.不等式证明的常用方法有：比较法、综合法与分析法其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形对点练习1.设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)(考向二 放缩法证明不等式典例剖析【例2】求证：12(n2，nN)用放缩法证明不等式的常用方法：(1)添加或舍去一些项，如a2a122.(2)将分子或分母放大(或缩小)，如2()；2()(kN，k1)；.(3)利用真分数的性质：若0ab，m0，则.(4)利用基本不等式，如ab2(a0，b0)(5)利用绝对值不等式定理：|a|b|a±b|a|b|.(6)利用函数的单调性对点练习2.(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.证明：若an<bn，则s<t.考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值典例剖析【例3】已知a，b，cR，且abc1，求的最大值利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立对点练习3.已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为.(1)求m的值；(2)若a，b，c(0，)，且m，求证：a2b3c9.满分指导24不等式的证明典例剖析【典例】(10分)(2014·长春模拟)已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论，求函数y(0x1)的最小值 对点练习4.(2014·福建模拟)若a，b，c为正实数，且abc2.(1)求abc的最大值；(2)证明：.练习1已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的反设为()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca、b、c不全是正数Dabc02已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是()AmnBmnCmnDmn3(2014·陕西高考)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_4(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.作业一、选择题(每小题5分，共60分)1若ab，则必成立的不等关系是() Aa2b2 B.1 Clg(ab)0 D.2已知a，b，c，d为实数，ab0，则下列不等式中成立的是()Abcad Bbcad C. D.3若a，b，c，则()Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<a<c4设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则()Aab Bab Cab Dab5使不等式>1成立的正整数a的最大值为()A10 B11 C12 D136已知a，bR，则使成立的一个充分不必要条件是()Aab0 Bab(ab)0 Cba0 Dab7要证a2b21a2b20，只要证()A2ab1a2b20Ba2b210 C.1a2b20 D(a21)(b21)0 8设a，b，cR，且a，b，c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是()Aa，b，c全为正数 Ba，b，c全为非负数Cabc0 Dabc>09若kN，则下列不等式成立的是()A.2() B.2()C.2() D.2()10设ta2b.Sab21，则下列关于t与S的大小关系中，正确的是()AtS BtS CtS DtS11如果loga3logb3，且ab1，那么()A0ab1 B0ba1 C1ab C1ba12若a，b，c为三角形三边，记Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2P BPS2P CSP DPS2P二、填空题(每小题5分，共20分)13若a，b0，且abab3，则ab的取值范围是_14函数(x1)的值域是_15设a，b是正实数，且ab1，则的最大值为_16如果abab，那么实数a，b应满足的条件是_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(本小题满分11分)设a，b，cR，求证：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.18(本小题满分11分)设a，b，c，d均为正数，求证：.19(本小题满分12分)设f(x)x2axb，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.20(本小题满分12分)求证：12(1)(nN)21(本小题满分12分)已知n2，且(nN)，求证：.22(本小题满分12分)数列an为等差数列，a13，an为正整数，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，bn1，数列ban是公比为64的等比数列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求证：.
