通过对高中数学的圆锥曲线的教学来理解数与形的统一性.doc

通过对高中数学的"圆锥曲线"的教学来理解数与形的统一性数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。例5曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是 。分析：曲线的图形是以为圆心，以1为半径的圆在轴上方（包括轴）的部分。直线是过定点、斜率为的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线介于直线之间（包括，不包括），其中与半圆相切，过原点。通过计算容易求得的斜率为1，的斜率为。所以。图4例6如果实数满足等式，那么的最大值是 。图5分析：等式有明显的几何意义，它表示以为圆心，为半径的圆（如图5）。而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值。由图5可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为。应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。