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现代控制理论第3版课后答案完善版 现代控制理论第 3 版刘豹唐万生机械工业出版社课后答案第一章1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令 ，则 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2 有电路如图 1-28 所示。以电压 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令 ，输出量 有电路原理可知： 既得 写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入 ， ，两输出 ， 的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 ，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （ 2 ）已知系统传递函数 , 试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：方法一： 1-7 给定下列状态空间表达式（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数解：（ 2 ） 1-8 求下列矩阵的特征矢量（ 3 ） 解： A 的特征方程 解之得： 当 时， 解得： 令 得 （或令 ，得 ）当 时， 解得： 令 得 （或令 ，得 ）当 时， 解得： 令 得 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（ 2 ） 解： A 的特征方程 当 时， 解之得 令 得 当 时， 解之得 令 得 当 时， 解之得 令 得 约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为 W 1 (s) 和 W 2 (s) 试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（ 1 ）串联联结（ 2 ）并联联结1-11 （第 3 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1 、 2 的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数解：1-11 （第 2 版教材） 已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1 、 2 的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u 的系数 b( 即控制列阵 ) 为（ 1 ） 解法 1 ：解法 2 ：求 T, 使得 得 所以 所以，状态空间表达式为第二章习题答案（1） A= 解：第一种方法：令 求解得到 第二种方法：用拉氏变换法。= 所以： （ coswt ; ）（ 2 ） A= 解：第一种方法： 令 则 ，即 。求解得到 ， 当 时，特征矢量 由 ，得 即 ，可令 当 时，特征矢量 由 ，得 即 ，可令 则 ， 第二种方法，即拉氏反变换法： 第三种方法，即凯莱 哈密顿定理由第一种方法可知 ， 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。(1) (2) （ 3 ） （ 4 ） 解： (1) 因为 ，所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件（2） 因为 =I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 （ 3 ）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件（ 4 ）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态 ，输入 时单位阶跃函数。解： 因为 ， 2-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为 T=0.1s 和 1s ，而 和 为分段常数。 图 2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程 则离散时间状态空间表达式为由 和 得： 当 T=1 时 当 T=0.1 时 第三章习题3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（ 1 ）系统如图 3.16 所示：解：由图可得：状态空间表达式为：由于 、 、 与 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 只与 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（ 3 ）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示， A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0 ，故有 。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0 ，故有 。3-2 时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。， 中有全为零的行，系统不可控。 中没有全为 0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数 解：构造能控阵：要使系统完全能控，则 ，即 构造能观阵：要使系统完全能观，则 ，即 (2) 解：构造能控阵 :M= = 要使系统完全能控，则 构造能观阵： 要使系统完全能控，则 3-4 设系统的传递函数是 （ 1 ）当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（ 2 ）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（ 3 ）当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解： (1) 方法 1 ： 系统能控且能观的条件为 W(s) 没有零极点对消。因此当 a=1, 或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。方法 2 ：系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1, 或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（ 2 ）当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型（ 3 ）根据对偶原理，当 a=1, a=2 或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为3-6 已知系统的微分方程为： 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解： 系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为 3-7 已知能控系统的状态方程 A ， b 阵为：A= ， b= 试将该状态方程变换为能控标准型。解： A 的特征方程为 = 所以： 能控标准型为： 3-8 已知能观系统的 A ， b ， C 阵为：A= ， b= ， C= 试将该状态空间表达式变换为能观标准型。解： A 的特征方程 = 能观标准型为 3-9 已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。解： 系统的能控标准 I 型为能观标准 II 型为3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解： 3-11 试将下列系统按能控性进行分解（ 1 ） 解： rankM=2<3 ，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵 ： ，其中 是任意的，只要满足 满秩。即 得 （2） 解： rankM=2<3 ，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵 ： 即 , 有 变换后系统的状态空间表达式为y= 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解（ 1 ） 解： 由已知得 则有 rank N=2<3 ，该系统不能观构造非奇异变换矩阵 ，有 则 （2） A= 解：能观性判别矩阵 N RankN=2<3 ，该系统不能观构造非奇异变换矩阵 ，有 = y= 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解（ 1 ） 解：由已知得 rank M=3 ，则系统能控 rank N=3 ，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统 取 ，则 则 ， ， 3-14 求下列传递函数阵的最小实现。 （ 1 ） 解： ， ， ， ， 系统能控不能观取 ，则 所以 ， ， 所以最小实现为 ， ， ， 验证： 3-15 设 和 是两个能控且能观的系统（ 1 ）试分析由 和 所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（ 2 ）试分析由 和 所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（ 1 ） 和 串联当 的输出 是 的输入 时， ， 则 rank M=2<3 ，所以系统不完全能控。当 得输出 是 的输入 时， 因为 rank M=3 则系统能控 因为 rank N=2<3 则系统不能观（ 2 ） 和 并联， 因为 rank M=3 ，所以系统完全能控 因为 rank N=3 ，所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1 判断下列二次型函数的符号性质：（ 1 ） （ 2 ） 解：（ 1 ）由已知得， ， 因此 是负定的（ 2 ）由已知得， ， 因此 不是正定的4-2 已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（ 1 ）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足 A 的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即： 方法（ 2 ）：系统的原点平衡状态 为大范围渐近稳定，等价于 。取 ，令 ，则带入 ，得到若 ，则此方程组有唯一解。即其中 要求 正定，则要求因此 ，且 4-3 试用 lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性。（ 1 ） （ 2 ） 解：（ 1 ）系统唯一的平衡状态是 。选取 Lyapunov 函数为 ，则是负定的。 ，有 。即系统在原点处大范围渐近稳定。（ 2 ）系统唯一的平衡状态是 。选取 Lyapunov 函数为 ，则是负定的。 ，有 。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6 设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取 很明显， 的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取 Lyapunov 函数为 ，则是负定的。 ，有 。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9 设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（ 1 ）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有 。取 则 ，根据希尔维斯特判据，有：， 的符号无法判断。（ 2 ）李雅普诺夫方法：选取 Lyapunov 函数为 ，则是负定的。 ，有 。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12 试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设 的梯度为：计算 的导数为：选择参数，试选 ，于是得：，显然满足旋度方程 ，表明上述选择的参数是允许的。则有：如果 ，则 是负定的，因此， 是 的约束条件。计算得到 为：是正定的，因此在 范围内， 是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案5-1 已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为 -1 ， -2 ， -3 。解：依题意有： ，系统能控。系统 的特征多项式为：则将系统写成能控标准 I 型，则有 。引入状态反馈后，系统的状态方程为： ，其中 矩阵，设 ，则系统 的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较 各对应项系数，可解得： 则有： 。5-3 有系统：（1） 画出模拟结构图。（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3） 若指定极点为 -3 ， -3 ，求状态反馈阵。解（ 1 ）系统模拟结构图如下：（ 2 ）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统 完全能控。 对于系统 有： ，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 （ 3 ）系统 的特征多项式为：则将系统写成能控标准 I 型，则有 。引入状态反馈后，系统的状态方程为： ，设 ，则系统 的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较 各对应项系数，可解得： 。5-4 设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈 ，并画出系统结构图。解： 由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准 I 型为令 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为 -2 ， -2 ， -3 ，得期望特征多项式为比较 与 的对应项系数，可得即 系统结构图如下：5-5 使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。（ 1 ） 解：系统的能控阵为： ，系统能控。由定理 5.2.1 可知，采用状态反馈对系统 任意配置极点的充要条件是 完全能控。又由于 ，系统 能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。5-7 设计一个前馈补偿器，使系统解耦，且解耦后的极点为 。解： 5-10 已知系统：试设计一个状态观测器，使观测器的极点为 -r ， -2r(r>0) 。解：因为 满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为 ，所以有 于是 引入反馈阵 ，使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较 与 各项系数得：即 ，反变换到 x 状态下 观测器方程为：