19-20 第4章 4.4 第2课时　对数函数及其性质的应用.doc

第2课时对数函数及其性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较(重点)2通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用(重点)1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养2借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.解(1)法一(单调性法)：对数函数ylog5x在(0，)上是增函数，而<，所以log5<log5.法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，所以log5<log5.(2)法一(单调性法)：由于log2，log2，又因对数函数ylog2x在(0，)上是增函数，且>，所以0>log2>log2，所以<，所以log2<log2.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出ylogx及ylogx的图象，由图易知：log2<log2.(3)取中间值1，因为log23>log221log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1比较下列各组值的大小：(1)log0.5，log0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3，log20.8.解(1)因为函数ylogx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.(2)因为函数ylog1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.(3)因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57.(4)因为log3>log310，log20.8<log210，所以log3>log20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(62x)(a0，且a1)(1)求函数(x)f(x)g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)g(x)中x的取值范围思路点拨(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合(2)分a1和0a1求解不等式得答案解(1)由解得1x3，函数(x)的定义域为x|1x3(2)不等式f(x)g(x)，即为loga(x1)loga(62x)，当a1时，不等式等价于解得1<x；当0a1时，不等式等价于解得x<3.综上可得，当a1时，不等式的解集为；当0a1时，不等式的解集为.常见的对数不等式的三种类型(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解；(3)形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解.2(1)已知loga>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x1)，求x的取值范围解(1)由loga>1得loga>logaa.当a>1时，有a<，此时无解当0<a<1时，有<a，从而<a<1.所以a的取值范围是.(2)因为函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，所以由log0.7(2x)<log0.7(x1)得解得x>1.即x的取值范围是(1，)对数函数性质的综合应用探究问题1类比yaf(x)单调性的判断法，你能分析一下ylog(2x1)的单调性吗？提示：形如yaf(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于ylog(2x1)由函数ylogt及t2x1复合而成，且定义域为2x1>0，即x>，结合“同增异减”可知，ylog(2x1)的减区间为.2如何求形如ylogaf(x)的值域？提示：先求yf(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助ylogax的单调性求函数ylogaf(x)的值域【例3】(1)已知yloga(2ax)是0,1上的减函数，则a的取值范围为()A(0,1)B(1,2)C(0,2) D2，)(2)函数f(x)log(x22x3)的值域是_思路点拨(1)结合对数函数及y2ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解(1)B(2)(，1(1)f(x)loga(2ax)在0,1上是减函数，且y2ax在0,1上是减函数，即1a2.(2)f(x)log(x22x3)log(x1)22，因为(x1)222，所以log(x1)22log21，所以函数f(x)的值域是(，11求本例(2)的函数f(x)在3,1上的值域解x3,1，2x22x36，log6log(x22x3)log2，即log26f(x)1，f(x)的值域为log26，12求本例(2)的单调区间解x22x3(x1)22>0，又ylogt在(0，)为减函数，且tx22x3在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故由复合函数单调性可知，ylog(x22x3)单调递增区间为(，1)，单调递减区间为1，)1已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系2求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用1思考辨析(1)ylog2x2在0，)上为增函数()(2)ylogx2在(0，)上为增函数()(3)ln x<1的解集为(，e)()(4)函数ylog(x21)的值域为0，)()答案(1)(2)(3)(4)2设alog32，blog52，clog23，则()Aa>c>bBb>c>aCc>b>a Dc>a>bDalog32<log331；clog23>log221，由对数函数的性质可知log52<log32，b<a<c，故选D.3函数f(x)log2(12x)的单调增区间是_易知函数f(x)的定义域为，又因为函数ylog2x和y12x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.4已知a0且满足不等式22a125a2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x1)<loga(75x)的解集；(3)若函数yloga(2x1)在区间1,3上有最小值为2，求实数a的值解(1)22a125a2，2a15a2，即3a3，a1，即0a1.实数a的取值范围是(0,1)(2)由(1)得，0a1，loga(3x1)<loga(75x)，即解得<x<.即不等式的解集为.(3)0a1，函数yloga(2x1)在区间1,3上为减函数，当x3时，y有最小值为2，即loga52，a25，解得a.7