19-20 第4章 4.2 第2课时　指数函数的性质的应用.doc

第2课时指数函数的性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点)2通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.61.2和0.61.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a1)解(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.61.2,0.61.5可看作函数y0.6x的两个函数值，因为函数y0.6x在R上是减函数，且1.2>1.5，所以0.61.2<0.61.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.701,0.92.1<0.901，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，yax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，yax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.1比较下列各值的大小：，2，3，.解先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.(2)中，<2<2(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出yx，y2x的图象，再分别取x，x，比较对应函数值的大小，如图)，故有3<<<2.利用指数函数的单调性解不等式【例2】(1)解不等式3x12；(2)已知ax23x1<ax6(a>0，a1)，求x的取值范围解(1)21，原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0<a<1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是减函数，x23x1>x6，x24x5>0，根据相应二次函数的图象可得x<1或x>5；当a>1时，函数f(x)ax(a>0，a1)在R上是增函数，x23x1<x6，x24x5<0，根据相应二次函数的图象可得1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<1或x>5；当a>1时，1<x<5.1利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式2解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)2若ax1>53x(a>0且a1)，求x的取值范围解因为ax1>53x，所以ax1>a3x5，当a>1时，yax为增函数，可得x1>3x5，所以x<3；当0<a<1时，yax为减函数，可得x1<3x5，所以x>3.综上，当a>1时，x的取值范围为(，3)；当0<a<1时，x的取值范围为(3，)指数型函数单调性的综合应用探究问题1试结合图象，分析y2x，y2|x|，yx1的单调性，并写出相应单调区间提示： 2结合探究1，分析函数y2|x|与函数y|x|的单调性是否一致？提示：y2|x|的单调性与y|x|的单调性一致3函数yax2(a>0，且a1)的单调性与yx2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a>1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性一致；(2)当0<a<1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性相反【例3】判断f(x)x22x的单调性，并求其值域思路点拨解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，yx22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，0<u13，原函数的值域为(0,3把本例的函数改为“f(x)2，求其单调区间解函数y2的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2在1，)上是减函数综上，函数y2的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1函数yaf(x)(a>0，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a>0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.1比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2解简单指数不等式问题的注意点(1)形如ax>ay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解3(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0<a<1时，yaf(x)与f(x)单调性相反(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.1思考辨析(1)y21x是R上的增函数()(2)若0.1a>0.1b，则a>b.()(3)a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.()(4)由于yax(a>0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数()答案(1)(2)(3)(4)2若2x1<1，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，) D(，1)D2x1<120，且y2x是增函数，x1<0，x<1.3下列判断正确的是()A1.72.51.73 B0.820.83C2 D0.90.30.90.5Dy0.9x在定义域上是减函数，0.30.5，0.90.30.90.5.4已知函数f(x)ax(a>0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x)ax22x(x0)的值域解(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)x在R上递减，2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以3，即函数g(x)a(x0)的值域为(0,37