第2章 2.2.2　直线的方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc

2.2.2直线的方程学 习 目 标核 心 素 养1会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程(重点)2掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系(重点)3灵活选用恰当的方式求直线方程(难点)1通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养2通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线怎样表示直线的方程呢？1直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为xx0(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为yy0k(xx0)由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？提示直线l的斜率k存在(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为ykxb由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？提示直线既不与x轴重合也不与y轴重合2直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2x1，y2y1时，则称为直线的两点式方程(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab0，则方程1称为直线的截距式方程思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？提示两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点3直线的一般式方程直线的一般式方程为AxByC0(A2B20)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1,3)()(2)直线y2x3在y轴上的截距为3()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)由点斜式方程的形式知正确(2)由斜截式方程的形式知正确(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误(4)正确2已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为13过点(1,2)和(3,5)的直线方程为 3x2y10由直线的两点式方程，得，化简得3x2y104经过点P(2,1)，且斜率为1的直线方程为 xy10由题意知，直线方程为y1(x2)，即xy10求直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程(1)经过点(2,5)，倾斜角为45；(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(1，1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直解(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的方程为y5x2(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351所以直线的方程为y4(x3)(3)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y1(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x1，该直线没有点斜式方程1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)2点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点解(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2)求直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率是3，在y轴上的截距是3(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是5(3)过点A(1，2)，B(2,3)思路探究先求直线的斜率，结合y轴上的截距可用斜截式方程求解解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y3x3(2)倾斜角是60，斜率ktan 60，由斜截式可得方程yx5(3)斜率为k5，由点斜式得y35(x2)，化为斜截式y5x71用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别2直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断2(1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2xy10，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标解(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4(x6)，化成斜截式为yx4(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)直线的两点式方程【例3】在ABC中，A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程思路探究(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100故BC所在直线的方程为2x5y100(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03M，又BC边上的中线经过点A(3,2)由两点式得，即10x11y80故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y801由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程2求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程3(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，则直线l的方程为 ；(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m (1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为，即xy10又点P(3，m)在直线AB上，所以3m10，得m2直线的一般式方程探究问题1平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？提示都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角，直线的斜率k存在直线可表示成ykxb，可转化为kx(1)yb0，这是关于x，y的二元一次方程(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角，直线的斜率k不存在，不能用ykxb表示，而只能表示成xa0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为02每一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示能表示一条直线，原因如下：当B0时，方程AxByC0可变形为yx，它表示过点，斜率为的直线当B0时，方程AxByC0变成AxC0即x，它表示与y轴平行或重合的一条直线【例4】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)若直线l不过第三象限，则a的取值范围为 思路探究含有参数的一般式直线方程问题化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解1，)把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1所以a的取值范围为1，)1本例中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不过第三象限，符合(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1由(1)(2)可知a12若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？解把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零即解得a2所以a的取值范围为(，2当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究ykxb：k>0，b>0，经过第一、二、三象限；k>0，b<0，经过第一、三、四象限；k<0，b>0，经过第一、二、四象限；k<0，b<0，经过第二、三、四象限1本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化2本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法(2)求截距式方程与两点式方程的方法(3)求一般式方程的方法3本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况1过点(3,2)，倾斜角为60的直线方程为()Ay2(x3)By2(x3)Cy2(x3) Dy2(x3)C因为直线的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60，由直线方程的点斜式，可得方程为y2(x3)2直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A60，2 B60，2C120，2 D120，2B由y2(x1)的可知斜率k，故倾斜角60，令x0可得在y轴上的截距23直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0 Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0B直线经过一、三、四象限，由图知，k0，b04已知直线l过点P(2,1)，且斜率为1，则l的点斜式方程为 y1(x2)直线l的斜率k1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y1(x2)5直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线yx的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程解直线yx的斜率k，则其倾斜角60，直线l的倾斜角为120直线l的斜率为ktan 120直线l的点斜式方程为y4(x3)