第二章圆锥曲线(3).doc
章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.双曲线3x2y29的实轴长是()A.2 B.2 C.4 D.4答案A解析3x2y29，1，a，2a2.2.抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析2p8，p4.3.椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则k应满足的条件是()A.k>3 B.2<k<3C.k2 D.0<k<2答案C解析k>0，c，k2.4.F1、F2是椭圆1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆.5.直线yx3与曲线1()A.没有交点 B.只有一个交点C.有两个交点 D.有三个交点答案D解析当x>0时，双曲线1的渐近线为：y±x，而直线yx3斜率为1,1<，yx3与x轴上半部分的一支双曲线有一交点.当x0时，曲线1为椭圆，又直线yx3过椭圆顶点，直线yx3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点，选D.6.已知椭圆1(a>b>0)与双曲线1(m>0，n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案D解析由题意可得解得，e.7.与抛物线x24y关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是()A.(1,0) B.(，0)C.(1,0) D.(0，)答案C解析x24y关于xy0对称的曲线为y24x，其焦点为(1,0).8.如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.答案D解析|F1F2|2.设双曲线的方程为1.|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290°，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选D.9.已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21答案A解析抛物线焦点为(1,0)，c1，又椭圆的离心率e，a2，b2a2c23，椭圆的方程为1，故选A.10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B.2 C.4 D.8答案C解析设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.11.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8答案C解析由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则·(x0，y0)·(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.·xx03(1)x03(x02)22.2x02，·的最大值在x02时取得，且最大值等于6.12.从双曲线1(a>0，b>0)的左焦点F1引圆x2y2a2的切线，切点为T.延长F1T交双曲线右支于P点，若M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的大小关系为()A.|MO|MT|>ba B.|MO|MT|baC.|MO|MT|<ba D.不确定答案B解析如图，设双曲线的右焦点为F2，连接PF2.O、M分别为F1F2、F1P的中点，OM是PF1F2的中位线，|OM|PF2|，由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a，|PF2|PF1|2a，|MO|MT|(|PF1|2a)|MT|PF1|MT|a|MF1|MT|a|TF1|aaaba.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.双曲线1的两条渐近线的方程为_.答案y±x解析双曲线1的渐近线方程为0，即y±x.14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e_.答案解析设椭圆方程为1(a>b>0).由题意得，|AB|2|BF|2|AF|2，(ac)2a2b2a2，c2aca20.e2e10，又0<e<1，e.15.已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析由y24x，知p2，F(1,0)，由抛物线定义，xA|AF|，xA211，因此ABx轴，F为AB中点，从而|BF|AF|2.16.已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|·|PF2|2，则该双曲线的方程是_.答案y21解析由PF1PF2，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|F1F2|2，由已知，得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c2，|PF1|·|PF2|2(2a)22×2(2)2a24b2c2a2541.则双曲线方程为y21.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)双曲线1(a>0，b>0)，过焦点F1的弦AB(A，B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求ABF2的周长.解|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)4a，又|AF1|BF1|AB|m，|AF2|BF2|4a(|AF1|BF1|)4am.ABF2的周长等于|AF2|BF2|AB|4a2m.18.(12分)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解(1)由得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1.故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.19.(12分)过抛物线y24x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点.求证：AOB是钝角三角形.证明焦点F为(1,0)，过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为kyx1，代入抛物线y24x，得y24ky40，则有yAyB4，则xAxB·1.又|OA|·|OB|cosAOB·xAxByAyB143<0，得AOB为钝角，故AOB是钝角三角形.20.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积.(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，·(23，m)·(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上.(3)解SF1MF2×4×|m|6.21.(12分)已知椭圆G：1 (a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.解(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由，得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|·d.22.(12分)椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.解(1)由已知得e，1，又c2a2b2，所以a24，b21.故椭圆C的方程为：y21.(2)方法一如图，由题意知即，整理得：m(|PF1|2).又ac<|PF1|<ac，即2<|PF1|<2.<m<.故m的取值范围为m.方法二由题意知：，即.设P(x0，y0)，其中x4，将向量坐标化得：m(4x16)3x12x0.所以mx0，而x0(2,2)，所以m.(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0).联立整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.所以64(ky0k2x0)216(14k2)(y2kx0y0k2x1)0.即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0.故k，又.所以·8.所以为定值，这个定值为8.
