大题专练训练37：导数（构造函数证明不等式2）-2021届高三数学二轮复习.doc

二轮大题专练37导数（构造函数证明不等式2）1已知函数（其中为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）求证：解：（1）因为，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以；（2）证明：要证，只需证明：对于恒成立，令，则，当时，则在上为增函数，又因为，（1），所以存在使得，由，得即即即，所以当时，单调递减，当，时，单调递增，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即2已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，（1）解：函数的定义域为，令，即，解得或，若，此时，在恒成立，所以在单调递增若，此时，方程的两根为：，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增若，此时，方程的两根为：，且，所以在上单调递增综上所述：若，在单调递增；若，在，上单调递增，在上单调递减（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以（1），所以在上恒成立（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2 ，设，设，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，3已知函数，恰好有两个极值点，（）求证：存在实数，使；（）求证：证明：（），结合题意，即存在2个不同正根，先考虑与相切，记切点横坐标为，则，解得：，记，则，令，解得：，故在递减，在，递增，且（1），（2），故存在唯一，使得成立，取，则时，恰有2个极值点，得证；（）由（）知：，且，故，代入，得，设，由，得，即，则，时，故在，递减，在，递增，故，即，而（2），故：4已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证解：（1），定义域是，则，设，其中，故令，解得：又，故，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增；（2）证明：要证，即证，即证，设，则，令，得，令，解得：，故在递减，在递增，故（2），即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故，又，故，故成立5已知函数（其中为自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）当，证明：参考数据：（1）解：函数的定义域为，当时，则在上单调递增；当时，由，解得，当时，所以单调递减；当时，所以单调递增综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，单调递减，在，单调递增，（2）证明：当时，显然有；当时，令，则函数（a）在时单调递减，所以只需证明（1），即，令，则，显然单调递增，又，所以存在唯一，使，当时，单调递减；当，时，单调递增，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，从而，所以，则，故待证不等式成立6已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若（1）且，证明：，；（3）记方程的三个实根为，若，证明：解：（1）的定义域是，令，解得或，故在递增，在递减，在递增；（2）证明：由（1）知（1），若（1）且，则，要证，即证，令，则，故在递增，在递减，故（1）或，故（1），故在恒大于0，即，；（3）当时，即的3个零点分别是，令，解得，或，故在递增，在递减，在递增，（1），（3），又（4），故，成立