第18讲等腰三角形与直角三角形.doc

第18讲等腰三角形与直角三角形基础过关一、精心选一选1(2014·广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( A )A17 B15C13 D13或172(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )A4，5，6 B1.5，2，2.5C2，3，4 D1，33(2013·龙岩)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线yx上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( B )A2 B3 C4 D54(2014·威海)如图，在ABC中，ABC50°，ACB60°，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( B )ABAC70° BDOC90°CBDC35° DDAC55°5(2014·南充)如图，在ABC中，ABAC，且D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为( B )A30° B36° C40° D45°6(2013·天门)如图，在ABC中，ABAC，A120°，BC6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( C )A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm7(2013·淄博)如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC10，则PQ的长为( C )A. B. C3 D4二、细心填一填8(2013·黔西南州)如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E_15_度,第8题图),第9题图)9(2014·天津)如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BDBC，AEAC，则DCE的大小为_45_度10(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是_10_11如图，梯形ABCD中，ABDC，ADCBCD90°且DC2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_S1S3S2_,第11题图),第12题图)12(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为_20_cm.13(2013·锦州)在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE5，tanAED，则BECE_6或16_14(2013·沈阳)已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是_1或7_三、用心做一做15在ABC中，ABAC，点E，F分别在AB，AC上，AEAF，BF与CE相交于点P，求证：PBPC.并请直接写出图中其他相等的线段解：AEAF，ACAB，AA，ACEABF(SAS)，ABFACE，ABAC，ABCACB，PBCPCB，PBPC.其他相等线段：BECF，PEPF，BFCE16(2014·温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.(1)求F的度数；(2)若CD2，求DF的长解：(1)ABC是等边三角形，B60°，DEAB，EDCB60°，EFDE，DEF90°，F90°EDC30°(2)ACB60°，EDC60°，EDC是等边三角形，EDDC2，DEF90°，F30°，DF2DE417(2014·杭州)把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用尺规作出这些三角形；(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长解：(1)3，4，5；4，4，4(2)R12.5，外接圆周长为5；R2，外接圆周长为18如图，在ABC中，ABC45°，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，点F是BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABECBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等，给予证明，若不相等，请说明理由；(2)求证：BG2GE2EA2.解：(1)相等证DBHDCA，得BHAC(2)连接CG，证ABECBE，得ECEA，在RtCGE中，由勾股定理得CG2GE2EC2，可证GF垂直平分BC，BGCG，BG2GE2EA2挑战技能19(2013·泸州)如图，在等腰直角ABC中，ACB90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且DOE90°，DE交OC于点P，则下列结论：图形中全等的三角形只有两对；ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；CDCEOA；AD2BE22OP·OC.其中正确的结论有( C )A1个 B2个 C3个 D4个20(2014·珠海)如图，在等腰RtOAA1中，OAA190，OA1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA6的长度为_8_21(2014·金华)如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P.若AECF.(1)求证：AFBE，并求APB的度数；(2)若AE2，试求AP·AF的值解：(1)由SAS可证ABECAF，AFBE，ABECAF，ABEBAFCAFBAFBAC60°，APB180°60°120°(2)由(1)得AFCAEP，又PAECAF，APEACF，AP·AFAE·AC2×61222(2014·重庆)如图，ABC中，BAC90°，ABAC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.(1)求证：BECF；(2)在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：MEBC；DEDN.解：(1)BAC90°，ABAC，BACB45°，FCBC，BCF90°，ACF90°45°45°，BACF，BAC90°，FAAE，BAECAE90°，CAFCAE90°，BAECAF，又ABAC，ABEACF(ASA)，BECF(2)过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HEBH，BEH45°，AE平分BAD，ADBC，DEHE，DEBHHE，BM2DE，HEHM，HEM是等腰直角三角形，MEH45°，BEM45°45°90°，MEBC由题意得CAE45°×45°67.5°，CEA180°45°67.5°67.5°，CAECEA67.5°，ACCE，由HL可证RtACMRtECM，ACMECM×45°22.5°，又DAE×45°22.5°，DAEECM，BAC90°，ABAC，ADBC，ADCDBC，由ASA可证ADECDN，DEDN23(1)操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；(2)类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？(3)深入探究：.如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时(点D与B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF，BF，探究AF，BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；.如图，当动点D在等边ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论解：(1)AFBD，证BCDACF(SAS)即可(2)仍然成立，证BCDACF(SAS)即可(3).AFBFAB.由(1)知BCDACF(SAS)，则BDAF.同理BCFACD(SAS)，则BFAD，AFBFBDADAB.中的结论不成立，新的结论是AFABBF.易证BCFACD(SAS)，BFAD.由(2)知AFBD，AFBDABADABBF