专题33 中考几何折叠翻折类问题（解析版）.docx

专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。（3）对应点到对称轴的距离相等。（4）对应点的连线互相平行。也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。这对解决问题有很大帮助。（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。一般试题考查点圆最值问题。（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。【例题1】（2020哈尔滨）如图，在RtABC中，BAC90，B50，ADBC，垂足为D，ADB与ADB关于直线AD对称，点B的对称点是点B，则CAB的度数为（）A10B20C30D40【答案】A【解析】由余角的性质可求C40，由轴对称的性质可得ABBB50，由外角性质可求解BAC90，B50，C40，ADB与ADB关于直线AD对称，点B的对称点是点B，ABBB50，CABABBC10。【对点练习】（2019重庆）如图，在ABC中，ABC=45，AB=3，ADBC于点D，BEAC于点E，AE=1，连接DE，将AED沿直线沿直线AE翻折至ABC所在的平面内，得到AEF，连接DF，过点D作DGDE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（ ）A.8 B. C. D. 【答案】D.【解析】易证AEDAEFBGD，得ED=EF=GD，DGE=45，进而得BGD=AED=AEF=135，易得DEG和DEF都是等腰直角三角形，设DG=x，则EG=x，注意AB=3，BG=AE=1，AEB=90，可解得x=.【例题2】（2020贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC2，则线段EG的长度为_【答案】【解析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出1=2=3，进而得出答案解：如答图，由第一次折叠得EFAD，AEDE，AEF90，AD2AE四边形ABCD是矩形，DDAB90，AEFD，EFCD，AENADM，ANAM，ANMN，又由第二次折叠得AGMD90，NGAM，ANNG，24由第二次折叠得12，14ABCD，EFCD，EFAB，34，123123DAB90，12330四边形ABCD是矩形，ADBC2由第二次折叠得AGAD2由第一次折叠得AEAD21在RtAEG中，由勾股定理得EG【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出2=4是解题关键【对点练习】（2019四川内江）如图，在菱形ABCD中，simB，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MNBC时，的值是 【答案】【解析】延长CM交AD于点G，将四边形AEFB沿EF翻折，AEME，AEMC，BFFN，BN，ABMN四边形ABCD是菱形ABBCCDAD，BD，A+B180simBsinN，设CF4x，FN5x，CN3x，BC9xABCDAD，simBsinDGCGMGC（MNCN）6xxA+B180，EMC+EMG180BEMGsinBsinEMGcosEMGEM2x，AE2x，故答案为：【例题3】（2020衢州模拟）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处如图2（1）求证：EG=CH；（2）已知AF=，求AD和AB的长【答案】见解析。【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识（1）证明：由折叠知AE=AD=EG，BC=CH，四边形ABCD是矩形，AD=BC，EG=CH；（2）解：ADE=45，FGE=A=90，AF=，DG=，DF=2，AD=AF+DF=+2；由折叠知AEF=GEF，BEC=HEC，GEF+HEC=90，AEF+BEC=90，AEF+AFE=90，BEC=AFE，在AEF与BCE中，AEFBCE（AAS），AF=BE，AB=AE+BE=+2+=2+2【对点练习】（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF求证：（1）ECBFCG；（2）EBCFGC【答案】见解析。【解析】依据平行四边形的性质，即可得到ABCD，由折叠可得，AECG，即可得到ECBFCG；依据平行四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到BG，BCCG，进而得出EBCFGC证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，由折叠可得，AECG，BCDECG，BCDECFECGECF，ECBFCG；（2）四边形ABCD是平行四边形，DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，BG，BCCG，又ECBFCG，EBCFGC（ASA）一、选择题1.（2020青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O若AE5，BF3，则AO的长为（）A5B325C25D45【答案】C【解析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AFFCAE5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可矩形ABCD，ADBC，ADBC，ABCD，EFCAEF，AEAF3，由折叠得，FCAF，OAOC，BC3+58，在RtABF中，AB=52-32=4，在RtABC中，AC=42+82=45，OAOC25，2（2020枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，AB3，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EACECA，则AC的长是（）A33B4C5D6【答案】D【解析】根据折叠的性质得到AFAB，AFEB90，根据等腰三角形的性质得到AFCF，于是得到结论将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，AFAB，AFEB90，EFAC，EACECA，AECE，AFCF，AC2AB63（2020广东）如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，F分别在边AB，CD上，EFD60若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A1B2C3D2【答案】D【解析】由正方形的性质得出EFDBEF60，由折叠的性质得出BEFFEB60，BEBE，设BEx，则BEx，AE3x，由直角三角形的性质可得：2（3x）x，解方程求出x即可得出答案四边形ABCD是正方形，ABCD，A90，EFDBEF60，将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，BEFFEB60，BEBE，AEB180BEFFEB60，BE2AE，设BEx，则BEx，AE3x，2（3x）x，解得x24如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F已知EF=，则BC的长是（）A B C3 D【答案】B 【解析】由折叠的性质可知B=EAF=45，所以可求出AFB=90，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，B=EAF=45，AFB=90，点E为AB中点，EF=AB，EF=，AB=AC=3，BAC=90，BC=35如图，已知D为ABC边AB的中点，E在AC上，将ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处若B=65，则BDF等于（）A 65 B 50 C 60 D 57.5【答案】B 【解析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得B=BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解DEF是DEA沿直线DE翻折变换而来，AD=DF，D是AB边的中点，AD=BD，BD=DF，B=BFD，B=65，BDF=180BBFD=1806565=506如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A （4，8） B （5，8） C （，） D （，）【答案】C 【解析】 此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标矩形ABCD中，OA=8，OC=4，BC=OA=8，AB=OC=4，由折叠得到OD=OA=BC，AOB=DOB，ODB=BAO=90，在RtCBP和RtDOB中，RtCBPRtDOB（HL），CBO=DOB，OE=EB，设CE=x，则EB=OE=8x，在RtCOE中，根据勾股定理得：（8x）2=x2+42，解得：x=3，CE=3，OE=5，DE=3，过D作DFBC，可得COEFDE，=，即=，解得：DF=，EF=，DF+OC=+4=，CF=3+=，则D（，）7（2019海南）如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处若B60，AB3，则ADE的周长为（）A12B15C18D21【答案】C【解析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC2AB6，AD6，再根据ADE是等边三角形，即可得到ADE的周长为6318解：由折叠可得，ACDACE90，BAC90，又B60，ACB30，BC2AB6，AD6，由折叠可得，EDB60，DAE60，ADE是等边三角形，ADE的周长为63188（2019桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）ABCD【答案】B11【解析】由折叠可得，AEOEDE，CGOGDG，E，G分别为AD，CD的中点，设CD2a，AD2b，则AB2aOB，DGOGCGa，BG3a，BCAD2b，C90，RtBCG中，CG2+BC2BG2，即a2+（2b）2（3a）2，b22a2，即ba，的值为，二、填空题9（2020襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN若BFAD15，tanBNF=52，则矩形ABCD的面积为 【答案】155【解析】由折叠的性质得出BNFBEF，由条件得出tanBEF=52，设BF=5x，BE2x，由勾股定理得出EF3x，得出AB=5BF，则可得出答案将ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，AFDE，AEEF，矩形ABCD中，ABF90，B，E，N，F四点共圆，BNFBEF，tanBEF=52，设BF=5x，BE2x，EF=BF2+BE2=3x，AE3x，AB5x，AB=5BFS矩形ABCDABAD=5BFAD=51515510（2020牡丹江）如图，在RtABC中，C90，点E在AC边上将A沿直线BE翻折，点A落在点A处，连接AB，交AC于点F若AEAE，cosA=45，则AFBF= 【答案】13【分析】根据题意设AC4x，AB5x，则BC3x，再证明BCE为等腰直角三角形，得到EC3x，根据AEFBCF，得到AEBC=AFBF=13解：C90，cosA=45，ACAB=45，设AC4x，AB5x，则BC3x，AEAE，AEA90，AEBC，由于折叠，AEBAEB（36090）2135，且AEFBCF，BEC45，即BCE为等腰直角三角形，EC3x，AEACECxAE，AEBC=AFBF=x3x=13，11（2020安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处折痕为AP；再将PCQ，ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处请完成下列探究：（1）PAQ的大小为；（2）当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为 【答案】（1）30；（2）3【解析】（1）由折叠的性质可得BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，DARQ，CQRP，由平角的性质可得D+C180，AQP90，可证ADBC，由平行线的性质可得DAB90，即可求解；（2）由平行四边形和折叠的性质可得ARPR，由直角三角形的性质可得AP2PB2QR，AB=3PB，即可求解解：（1）由折叠的性质可得：BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，DARQ，CQRP，QRA+QRP180，D+C180，ADBC，B+DAB180，DQR+CQR180，DQA+CQP90，AQP90，BAQP90，DAB90，DAQQAPPAB30，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：ADAR，CPPR，四边形APCD是平行四边形，ADPC，ARPR，又AQP90，QR=12AP，PAB30，B90，AP2PB，AB=3PB，PBQR，ABQR=3，故答案为：312（2019山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交与点H，连接线段BN，则EH与HN的比值是 【答案】1：2【解析】由折叠的性质可得ABBN，AEBEAB，ABMMBN，EFAB，由锐角三角函数可求BNE30，由直角三角形的性质可求HN2EH，即可求EH与HN的比值解：由折叠的性质可得：ABBN，AEBEAB，ABMMBN，EFABsinBNEBNE30ABN60，且ABMMBNABMMBN30BNEBH2EH，BHHN，HN2EH，EH与HN的比值是1：2132020上海模拟如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为_.【答案】1【解析】在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，AC=，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=135，CDB=EDBCDE=13590=45，C=90，CBD=CDB=45，CD=BC=1，DE=AD=ACCD=114（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，A60，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是 【答案】1【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMAM1，点A在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A在线段MC上时，AC长度有最小值AC长度的最小值MCMA1故答案为：115（2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB6，AD3，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E、A、C三点在一条直线上时，DF的长度为 【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CFCE，即可求解；如图1：将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，AEFEAF，AEAE，ABCD，AEFCFE，CFCE，AB6，AD3，AE2，CFCE6DF，AE2，BE4，BC3，EC5，6DF5，DF1；如图2：由折叠FEAFEA，ABCD，CFECEF，CFCE，CF5，DF11；故答案为1或11；16如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EFAD时，的值为 【答案】【解析】首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NHDC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案延长NF与DC交于点H，ADF=90，A+FDH=90，DFN+DFH=180，A+B=180，B=DFN，A=DFH，FDH+DFH=90，NHDC，设DM=4k，DE=3k，EM=5k，AD=9k=DC，DF=6k，tanA=tanDFH=，则sinDFH=，DH=DF=k，CH=9kk=k，cosC=cosA=，CN=CH=7k，BN=2k，=17.（2019河南）如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上，且BEa连接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为_【答案】或【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键分两种情况：点B落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得ABBE，即可求出a的值；点B落在CD边上，证明ADBBCE，据相似三角形对应边成比例即可求出a的值分两种情况：当点B落在AD边上时，如图1四边形ABCD是矩形，BADB90，将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上，BAEBAEBAD45，ABBE，a1，a；当点B落在CD边上时，如图2四边形ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上，BABE90，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaaa在ADB与BCE中，ADBBCE，即，解得a1，a20（舍去）综上，所求a的值为或18（2019江苏淮安）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP【答案】【解析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BHPH，又H为AB的中点，AHBH，AHPHBH，HAPHPA，HBPHPB，又HAP+HPA+HBP+HPB180，APB90，APBHEB90，APHE，BAPBHE，又RtBCH中，tanBHC，tanHAP，三、解答题19（2020金华）如图，在ABC中，AB42，B45，C60（1）求BC边上的高线长（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF如图2，当点P落在BC上时，求AEP的度数如图3，连结AP，当PFAC时，求AP的长【答案】见解析。【分析】（1）如图1中，过点A作ADBC于D解直角三角形求出AD即可（2）证明BEEP，可得EPBB45解决问题如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60=833，证明AEFACB，推出AFAB=AEAC，由此求出AF即可解决问题【解析】（1）如图1中，过点A作ADBC于D在RtABD中，ADABsin454222=4（2）如图2中，AEFPEF，AEEP，AEEB，BEEP，EPBB45，PEB90，AEP1809090如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60=833，PFAC，PFA90，AEFPEF，AFEPFE45，AFEB，EAFCAB，AEFACB，AFAB=AEAC，即AF42=22833，AF23，在RtAFP，AFFP，AP=2AF26方法二：AEBEPE可得直角三角形ABP，由PFAC，可得AFE45，可得FAP45，即PAB30 APABcos302620（2020湘潭模拟）如图所示，在RtABC中，C=90，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处（1）求证：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度【答案】见解析。【解析】证明：（1）C=90，ACD沿AD折叠，C=AED=90，DEB=C=90，B=B，BDEBAC；（2）由勾股定理得，AB=10由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=21.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE将ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B，连接AB并延长交直线DC于点F（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【答案】见解析。【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及翻折变换，是一道综合型的题目，难度不大，而证明三角形的全等是解题的关键（1）由折叠可得AB=AB，BE=BE，四边形ABCD是正方形，AB=DC=DF，CBE=45，BE=BF，AF=AB+BF，即DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BEDF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证ABEADG，CBAD，AEB=EAD，BAE=BAE，BAE=DAG，GAF=DAE，AGD=GAF，GF=AF，BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证ABMADF，BAM=FAD，AE=AMABEABEBAE=EAB，MAE=DAE，ADBE，AEM=DAB，MAE=AEM，ME=MA=AF，BEDF=AF第 36 页 共 36 页