5-6同构式下的函数体系.docx

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数专题6 同构式下的函数体系秒杀秘籍：第一讲 关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一 同构新天地，单调大舞台.明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线1顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2同位同构：加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.关于的亲戚函数如图1：根据求导后可知：在区间，在区间， 图1 图2 图3 图4考点1 平移和拉伸得到的同构函数如图2：，即将向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，如图3：，即将向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，如图4：，即将向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，考点2 乘除导致凹凸反转同构函数 图5 图6 图7 图8 如图5：，即将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，如图6：，即将关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小倍，得到，故可得在区间，在区间，当时，如图7：，属于分式函数，将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，如图8：，属于分式函数，将关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小倍，故可得在区间，在区间，当时，考点3 顺反同构函数 图9 图10 图11 图12 如图9：，当，即，当，即，如图10：，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当，即，当，即，如图11：，当，即，当，即，如图12：，当，即，当，即，【例1】（2019凌源市一模）若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】由题意得：有两个实根，即有两个交点，如图7所示，在区间，在区间，当时，；，选D【例2】（2019广州一模）已知函数，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，且为偶函数，则在区间单调递增，当时，对恒成立，即，选A【例3】（2019荆州期末）函数的单调增区间为（ ）A BCD【解析】，由于函数在区间，则，当，即时，故选B【例4】（2019广州期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】有两个根，则，由于函数在区间，最大值为，参考图10，故有两根时满足，即，选A【例5】（2019深圳月考）已知函数在区间，上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A， B，C，D，【解析】，当时，由于函数在区间，则当时，当时，由于，故当时，有两个不同零点，故选A【例6】（2019陕西一模）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】函数的定义域是，是函数的唯一一个极值点是导函数的唯一根在无变号零点，则，故时满足题意，选A.【例7】（2019保山一模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）A BCD【解析】由，得当时，易知，有且仅有一个极值点，当时，无极值点；时，方程有两解，故存在，使，即，令，则，再令，则在上递减，又（1），所以（1），解得，故选：【注意】关于与均可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用，达到举一反三的目的。例题中我们会以为模板进行求最值讨论.常用的几个以为母函数的“亲戚函数”！1.2.3. 4.秒杀秘籍：第二讲 同构式下的常见“同构体系”考点1 顺反同构 【例8】（2019 南康月考）已知函数，为的导函数（1）令，试讨论函数的单调区间；（2）证明：【解析】（1）略；（2）由题意得：，因为（当且仅当时等号成立），等价于证明，构造，则，易知，得证.【例9】（2019 长春二模）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围【解析】（1）略；（2）由题意得：有两解，得，构造，易得，所以，当且仅当即时等号成立，要使方程有两个实根，则需满足，得.考点2 加减同构【例10】（2019广州越秀）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围【解析】第一问略.（2）由题意得：，右边式子凑1得，即，又在，且时，所以不等式恒成立满足即可.【例11】（2019聊城期末）已知函数（为常数）（1） 当时，讨论函数在区间上的单调性；（2） 若，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）略；（2）由题意得：，即，右边凑1，得，即，因为，当且仅当时等号成立，构造，易得，所以只需满足.考点3 局部同构【例12】（2019广东四校）已知函数.（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 讨论函数的零点个数.【解析】（1）略：（2）易知当时，在上无零点；当时，注意母函数，令，的零点个数等价于得根的个数，即的根的个数，即直线与曲线的图像交点个数，由同构函数体系易知，所以当时，即时，无交点；当时，即时，两个交点；当或时，即或时，一个交点.综上所述：当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点.【例13】（2019清远期末）已知函数.（1） 当时，求的最小值；（2） 若有两个零点，求参数的取值范围.【解析】（1）略；（2）由题意知，令且在，即，若有两个零点，则有唯一一个大于1的零点，令，则，构造，则在，所以.【例14】（2019东城月考）已知函数（1） 求的单调区间；（2） 设，其中，若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）略.（2）由题意得：，因为，令，显然，所以，令即证，即，再由得.【例15】（2019全国模拟）已知函数.（1） 讨论函数的单调性；（2） 已知函数，且函数的最小值恰好为1，求的最小值.【解析】（1）略；（2），令，易得，即方程有解，即直线与图像有交点，求切线易得.【例16】（2019云南调研）已知函数，.（1） 已知为函数，的公共点，且函数，在点处的切线方程相同，求；（2） 若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）略；（2）由题意得，所以，令，即证，当时，恒成立；当，求切线易得，即.【例17】（2018石家庄模拟）已知函数.（1） 讨论函数的单调性；（2） 若函数存在极大值，且极大值为1，证明.【解析】（1）由题意得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减：（3） 由（1）知，若函数存在极大值，且极大值为1，则，且，即，此时.要证，即，思路一：因为，即证，构造，则易得，得证.思路二：注意母函数，令，即证，易得证.考点4 差一同构【例18】（2019宜春月考）已知函数，其中是自然对数的底数.（1） 若，求函数的极值；（2） 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）略；（2）由题意得，即，令，易知在，且. 即，因为，当且仅当时等号成立，即，又，即.【例19】（2019惠州月考）已知函数的图像与曲线在处相切.（1） 求实数、的值；（2） 证明：当时，.【解析】（1），；（2）由题意得，即，又，当且仅当等号成立，所以，下面证（此处参考秒1找基友来证），即，所以，得证.【例20】（2019衡水金卷）已知（1） 若，求的单调区间；（2） 若的最小值为，求证【解析】（1）略；（2）构造，则，则，接下来分类讨论：1，当，则，成立；2，当，则，得，成立；3，当，则，得；综上得证.【例21】（2019佛山二模）已知函数，其中.（1） 若，证明：是定义域上的增函数；（2） 是否存在，使得在处取得极小值？说明理由.【解析】（1）略；（2）构造，令得，则，即，当且仅当时等号成立，即，因为在处取得最小值，所以，这里需说明以及矛盾（方法同上题衡水金卷）.五 零点问题同构【例22】已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是 A B C D【解析】由.【例23】若关于的方程只有一个实数解，则的取值范围是 【解析】由题意得，令，则由图像易得或，所以或.【例24】已知方程有3个实根，则实数的取值范围是 【解析】构造，设，则原方程有三个根可以转化为有三个正数满足等式，根据定义域可知，此时若可以解出满足等式，结合函数图像可知，且，故，求的取值范围可转化为求的范围，由图猜测，当无限逼近时，故可以进一步猜测或者是，下面进一步分析，此时可以转化为当时，判断或者是，不妨令，则可以转化为，即判断或者是，由图像可以判断，故，所以.（其中判断过程可以严格证明，就是一个极值点偏移问题）. 【例25】已知方程有3个实根，则实数的取值范围是 【解析】方程变形同构，构造，则原方程有三个根可以转化为有三个正数满足等式，根据定义域可知，此题可参照例题3；另解析：当时，此时，仅存在，使，此时只存在两个实根，不合题意；当时，则一定存在或者（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故时，定义域要求完全覆盖，故，即. 【例26】已知函数，关于的方程有四个不同的实根，则实数取值范围是（ ）A BCD【解析】由题意得方程有4个解，即，由题意知，构造，画出图像如图所示，为偶函数，无论如何必有两根，要使得有四根，则一对在和，一对在和，此时必须小于1才能覆盖区间另一半（偏移覆盖问题，类似例题3、 4），所以. 达标训练1（2019武汉期末）已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A BCD2（2018荆州期末）函数的单调增区间为（ ）ABCD3（2018沈阳期末）函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）ABCD4已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）ABCD5已知，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD6设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为 7设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 8已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 9（2019眉山模拟）已知函数有两个零点，则的取值范围是 10（2019南充模拟）已知函数，其中为自然对数的底数（1）当时，证明：（2）是否存在实数，使的最小值为3，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由11（2019厦门一模）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：12（2019长春二模）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围13（2019唐山一模）已知函数，（1）若，求的取值范围；（2）若的图象与相切，求的值14（2019辽阳一模）已知函数（1）若函数，求的极值；（2）证明：（参考数据：，15（2018房山期末）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设实数使得对恒成立，求的取值范围16（2018德州期末）已知函数（1）当时，求函数的极小值；（2）若在，恒成立，求实数的取值范围17（2019东莞一模）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：18.（2019济南期末）设，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设恒成立，求的取值范围19（2019新疆模拟）已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求的最小值20（2019肇庆三模）已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在上成立，求的取值范围21（2019龙岩期中）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围22（2019拉萨二模）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若，求的取值范围23（2019辽宁一模）已知函数（1）若1是函数的一个极值点，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）在（1）的条件下证明：336