第2章 2.3.3　直线与圆的位置关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc

2.3.3直线与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1理解直线与圆的三种位置关系(重点)2会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系(重点)3能解决直线与圆位置关系的综合问题(难点)1通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养2通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线AxByC0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr判定方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切()答案(1)(2)2(教材P110练习A改编)直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离 D无法判断B圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径为1，dr，故直线与圆相切3直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 0a1由题意得圆心(0，a)到直线xy10的距离大于半径a，即a，解得1a1，又a0，0a14直线xy20，截圆x2y24所得的弦长是 2圆心到直线xy20的距离d所以弦长l222直线与圆位置关系的判定【例1】已知直线yxb与圆x2y22，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？思路探究可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断解法一：由得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)(1)当2b2时，0，直线与圆有两个公共点(2)当b2或b2时，0，直线与圆只有一个公共点(3)当b2或b2时，0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点法二：圆的半径r，圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d当dr，即2b2时，圆与直线相交，有两个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系1已知圆的方程x2(y1)22，直线yxb，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？解法一：由得2x22(1b)xb22b10，其判别式4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)，当3b1时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；当b3或1时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；当b3或b1时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点法二：圆心(0,1)到直线yxb距离d，圆半径r当dr，即3b1时，直线与圆相交，有两个公共点；当dr，即b3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；当dr，即b3或b1时，直线与圆相离，无公共点直线与圆相切的有关问题【例2】过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程思路探究利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程解因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程xx0或yy0(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解2过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，求该直线的方程解圆x2y24x30化为标准式(x2)2y21，圆心C(2,0)，设过原点的直线方程为ykx，即kxy0直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即1，3k21，k2，解得k切点在第三象限，k0，所求直线方程为yx直线截圆所得弦长问题探究问题1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2【例3】直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2y225相交截得的弦长为4，求l的方程思路探究设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求解据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：联立方程组消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0由10k(1k)24(k21)25k(k2)>0，解得k0又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|AB|4两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42，则|OH|，解得k或k2直线l的方程为x2y50或2xy50(变条件)直线l经过点P(2，1)且被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长最短，求此时直线l方程解圆的方程为(x3)2(y1)225，圆心C(3,1)因为|CP|5，所以点P在圆内当CPl时，弦长最短又kCP2所以kl，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y0直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2，则|AB|2图1图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在且不为0)1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法提醒：能用几何法，尽量不用代数法(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可2利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为xay10，则应将其化为xay1，然后代入消x(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离B圆心到直线的距离d1又直线yx1不过圆心(0,0)直线与圆相交但不过圆心2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1B CDC设l：yk(x2)，即kxy2k0又l与圆相切，1k3直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为 4圆的标准方程(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，所以弦长为244若直线xym0与圆x2y22相离，则m的取值范围是 m2或m2因为直线xym0与圆x2y22相离，所以，解得m2或m25过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程解由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d解得k1或k所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30