第2章 2.3.4　圆与圆的位置关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc

2.3.4圆与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1掌握圆与圆的位置关系及判定方法(重点)2了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用(重点)3掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法(难点)1通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象的核心素养2借助圆与圆的位置关系的判断，培养数学运算的核心素养奥运五环象征着什么？圆与圆的位置关系有哪些？1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含2圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如表：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程思考：用代数法消元后若0成立，是否两圆相离？提示相离或内含1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，还可能是内切(2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值(3)错误，在相交的情况才是2两圆x2y24x6y90和x2y212x6y190的位置关系是()A外离B外切C相交 D内切B两圆的圆心分别为(2,3)，(6，3)，半径分别为2,8所以两圆的圆心距d10，1028，即dr1r23两圆x2y2r2与(x2)2(y1)2r2(r0)外切，则r的值是()AB5C D2C两圆外切，圆心距d2r，解得r4已知两圆x2y24x6y100与x2y22x8y60相交于A，B两点，则直线AB的方程为 3xy20两圆的方程相减得6x2y40，即3xy20圆与圆位置关系的判定【例1】已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？思路探究本题主要考查两圆的位置关系，关键将圆的方程表示为标准方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(xm)2(y2)29C2：(x1)2(ym)24两圆的圆心C1(m，2)，C2(1，m)，半径r13，r22，且|C1C2|(1)若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|r1r2，即5解得m5或m2(2)若圆C1与圆C2内含，则0|C1C2|r2r1|1，即1解得2m11判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2(k50)从而|C1C2|5当15，k34时，两圆外切当|1|5，6，k14时，两圆内切当|r2r1|C1C2|r2r1，即14k34时，两圆相交两圆相交的有关问题【例2】已知圆C1：x2y210x10y0和圆C2：x2y26x2y400相交于A，B两点，求弦AB的长思路探究本题主要考查两圆的相交弦问题，关键是要寻找关于弦AB的相交量由于两圆方程已知，可先求A，B的坐标，再求弦长，也可转化为直线AB与圆C1或圆C2的相交问题解法一：两圆方程相减得4x3y100，此即为两圆相交弦所在直线AB的方程由解得或A，B的坐标分别为(2,6)，(4，2)|AB|10即弦AB的长为10法二：由解法一得直线AB为4x3y100圆心C1(5,5)到直线AB的距离为d5，而圆C1的半径为r5由圆的性质可知|AB|2210即弦AB的长为101求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数2求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解3已知圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)2(1)圆O1：x2y24x6y0和圆O2：x2y26x0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 (2)经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程为 (1)3xy90(2)x2y2x7y320(1)两圆的方程相减得AB的方程为x3y0，圆O1的圆心为(2，3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y33(x2)，即3xy90(2)解方程组得两圆的交点A(1,3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线xy40上，故ba4则有，解得a，故圆心为，半径为故圆的方程为，即x2y2x7y320圆与圆的相切问题探究问题1圆与圆相切是什么意思？提示 两圆相切指的是内切和外切两种情况2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)几何法利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，dRr为外切，d|Rr|为内切(2)代数法将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用0求解【例3】求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程思路探究设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题知所求圆与圆x2y22x0外切，则r1又所求圆过点M的切线为直线xy0，故，r解由组成的方程组得a4，b0，r2或a0，b4，r6故所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)2361将本例变为“求与圆x2y22x0外切，圆心在x轴上，且过点(3，)的圆的方程”，如何求？解因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为 (a,0)，半径为r，则所求圆的方程为(xa)2y2r2，又因为与圆x2y22x0外切，且过点(3，)，所以解得所以圆的方程为(x4)2y242将本例改为“若圆x2y22x0与圆x2y28x8ym0相外切，试求实数m的值”解圆x2y22x0的圆心为A(1,0)，半径为r11，圆x2y28x8ym0的圆心为B(4,4)，半径为r2因为两圆相外切，所以1，解得m16处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)1本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用(2)求两圆公共弦长的方法3本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解1两圆x2(y2)21和(x2)2(y1)216的位置关系是()A相离B相交C内切 D外切B两圆圆心分别为(0,2)和(2，1)，半径分别为1和4，圆心距d，|r1r2|d|r1r2|，故两圆相交2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8yn0内切，则n()A21 B9C19 D11DC2化为标准方程(x3)2(y4)225n，其圆心为(3,4)，半径r，C1圆心为(0,0)，半径为1若两圆内切，则有1，解得n113已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x26x80的两个根，则两圆的位置关系为()A外离 B外切C相交 D内切B由题意知r1r266(两圆圆心距)，两圆外切4圆x2y28与圆x2y24x160的公共弦长为 4两圆方程作差得x2，当x2时，由x2y28得y2844，即y2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，2)，则|AB|2(2)45已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得：3x4y60A，B两点坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆C1的圆心(1,3)，半径r13又C1到直线AB的距离为d|AB|22即两圆的公共弦长为