人教版九年级数学下册26.1.2.2《反比例函数的图象和性质的的综合运用》导学案.doc

26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)自主学习一、知识链接1.反比例函数的图象是什么？2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？合作探究1、 要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？(2) 点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【针对训练】已知反比例函数的图象经过点 A (2，3)（1）求这个函数的表达式；（2）判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3） 当 3< x <1 时，求 y 的取值范围探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2 如图，是反比例函数图象的一支. 根据图象，回答下列问题：(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则 k 的值可以是 （ ）A1 B3 C1 D0探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义操作 1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下列表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系P(2，2)，Q(4，1)2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系P(1，4)，Q(2，2)猜想 由前面的探究过程，可以猜想：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.证明 我们就 k < 0 的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.推理：QAO与QBO的面积和 k 的关系是SQAO=SQBO=.【针对训练】如图，在函数(x0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB【典例精析】例3 如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式【针对训练】1. 如图，过反比例函数图象上的一点 P，作PAx 轴于点A. 若POA 的面积为 6，则 k = .2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 例4 如图，P，C是函数(x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 POA 的面积为 S1，则(1) S1 = ；(2）梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；（3）POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. （填“”，“”或者“”） 【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .例5 如图，点 A 是反比例函数(x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数(x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =_.【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.【针对训练】如图，函数 yx与函数的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8探究点4：反比例函数与一次函数的综合思考 在同一坐标系中，函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ 例6 函数 y=kxk 与（k0）的图象大致是（ ） 【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是（ ） 例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .【针对训练】如图，一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是 例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 二、课堂小结当堂检测1. 如图， P 是反比例函数的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，连接O P ，且OBP 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定2. 反比例函数的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是_ _3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b 的解集是_4. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，4).（1）求 k 的值；（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?（3）画出该函数的图象；（4）点 B (1，8) ，C (3，5)是否在该函数的图象上？5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线交于A(1，2)，B(m，4)两点，（1）求直线与双曲线的解析式；（2）求不等式 ax + b的解集. 6. 如图，反比例函数与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点.（1）求 A，B 两点的坐标；（2）求AOB的面积.参考答案自主学习一、知识链接1.解：反比例函数的图象是双曲线2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.合作探究一、要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12.所以反比例函数的解析式为.因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.【针对训练】解：（1） 反比例函数的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得 k = 6. 这个函数的表达式为.（2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上（3） 当 x = 3时，y =2；当 x = 1时，y =6，且 k > 0， 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 < x < 1 时，6 < y < 2.探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.（2）因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.【针对训练】B探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，点 P (a，b) 在函数的图象上，即 ab=k.若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；同理， S矩形 AOBP=PBPA=a (b)=ab=k.综上，S矩形 AOBP=|k|.【针对训练】C【典例精析】例3 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，点 A 在反比例函数的图象上， xAyAk.又 SAOC xAyA = k2， k4.反比例函数的表达式为.【针对训练】1.-12 2. 例4 (1) 2 (2） > （3）= 【针对训练】S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3例5 5【针对训练】D 探究点4：反比例函数与一次函数的综合例6 D【针对训练】B例7 2< x <0 或 x >3解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知2< x <0 或 x >3.【针对训练】 -1< x <0 或 x >2 例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和. 由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点 P (3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1，.解得，k2=-12则这两个函数的解析式分别为和， 它们的图象如图所示.【针对训练】（2,6）或（-2,-6）当堂检测1. A 2. 3. 1x54. 解：（1） 反比例函数的图象经过点 A (2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得k = 8.（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.（3）如图所示：（4）该反比例函数的解析式为.因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为. 当y =4时，m=, B（，4）.将A(1，2)，B（，4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2;直线的解析式为y=4x-2.（2）根据图象可知，若 ax + b，则 x1或x0.6. 解:（1）联立两个解析式，解得或所以A(2，4)，B(4，2). （2）一次函数与x轴的交点为M (2，0)，OM=2.作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.SOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.