韦达定理在解析几何中的运用.doc
韦达定理在解析几何中的应用一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：AB=x1-x2=或AB=y1-y2 = ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x1、x2分别表示弦的两个端点的横坐标，y1、y2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。解：易知直线的方程为y=2(x-). 联立方程组y2=2px和y=2(x-) 消去x得y2-py-p2=0.=5p2>0,直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦长d=例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则PQ等于_.分析：联立方程组y=kx-2和x2+4y2=80消去y得(4k2+1)x2-16kx-64=0设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2= = 4得k=.x1x2= -32PQ=6 .练习1：过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同)二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax2(a>0)与曲线 y2+3= x2+4y交点的个数应是_个.分析：联立方程组y=ax2(a>0)与y2+3=x2+4y.消去x得y2-(1/a+4)y+3=0(a>0)因为所以,方程有两个不等正实根。由y=ax2 得出，有四个不等的x解，故二曲线的交点有4个。三，求弦中点坐标例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y2= 4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_.分析：联立方程组 x-y = 2和y2= 4x.消去x 得 y2-4y-8=0由韦达定理得y1 + y2 = 4,线段AB中点的纵坐标y= , 横坐标x= y+2= 4. 故线段AB中点坐标为（4，2）.练习2：求直线y=和圆x2+y2=16相交所成的弦的中点坐标。四，求曲线的方程例5，顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为.求此抛物线方程。解：设抛物线方程为 y2=2px, 联立方程组y2=2px 和 y=2x+1消去y 得4x2+2(2-p)x+1=0.又由韦达定理得x1+x2= x1x2=.于是有解得 p= -2 或 p=6. 故抛物线方程为 y2= -4x 或 y2=12x.例6,抛物线 y= -.与过点M(0,-1)的直线L相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=kx-1.联立方程组y=kx-1和y=-消去y 得 x2+2kx-2=0.由韦达定理得x1+x2=-2k, x1x2= -2. 又 则直线 L 的方程为 y = x-1.练习3：直线L在双曲线2x2-3y2=6上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L的方程.练习4:求m的值使圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0的两个交点A、B满足OAOB.练习5:一条直线与抛物线y2=x及y轴分别交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x3,y3).求证：_练习1提示：易知抛物线的焦点为（1，0），设过焦点的直线为y=k(x-1)(由x1+x2=6知此直线不平行于y轴，斜率k存在)联立方程组y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 由韦达定理得x1+x2 =2(k2+2) /k2=6,解得k2=1又x1x2=1.从而可求|AB|=8.练习2提示：联立方程组y=和x2+y2=16,消去y得方程5x2-10x-39=0,由韦达定理得x1+x2=2练习3提示：设直线L的方程为y=2x+m. 联立方程组y=2x+m和2x2-3y2=6消去y得10x2+12mx+3(m2+2)=0.令直线L与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2 = -,x1x2 =42=( x1+x2)2- 4x1x2(1+22 )=(-)2-4··5,解得 m =± 直线L的方程为y=2x±第3页
