6.1平面向量的概念（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册.doc

第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一、教学目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.三、课前准备1.了解物理学中的矢量和标量；2.了解有向线段的定义四、教学过程1、情景引入一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离,产生了一段位移,距离和位移一样吗？【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量,距离和位移不一定一样.m2、探索新知（1）向量的实际背景与概念问题1：位移与距离这两个量有什么区别？【答案】距离只有大小,是标量；位移既有大小，又有方向,是矢量，。向量与数量的定义： 只有大小，没有方向的量叫做数量(在物理学中称为标量).既有大小，又有方向的量叫做向量(在物理学中称为矢量); 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的.练习：判断下列量不是向量的选项是（ ）A.距离 B. 速度 C.力 D.密度 【答案】选AD（2）向量的表示问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向量是如何表示呢？有向线段的定义以A为起点，B为终点，则线段AB具有方向，把这样具有方向的线段AB叫做有向线段.A(起点) B（终点）a如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .问题:一条有向线段由哪些要素所确定？【答案】起点、方向、长度.向量的几何表示A(起点) B（终点）（1）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（2）用字母等表示；用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；用小写字母表示：、；（印刷用a，书写用）注意：用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中的向量具有自由性.4.向量的模向量的大小称为向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模的取值范围?【答案】非负数。5.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作. 思考：与0的含义与书写区别.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？【答案】以原点为圆心，1为半径的圆注意：（1）零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）向量是不能比较大小的,但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.（三）.相等向量与共线向量1.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.思考：若/，/，则/？【答案】若=时，则/不成立2.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）零向量与零向量相等,但是两个单位向量不一定相等;（3）向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.3.共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量.巩固训练：填空：（对下列选项对的打 错的）（1）平行向量一定方向相同（ ）（2）不相等的向量一定不平行（ ）（3）与零向量相等的向量必定是零向量？（ ）（4）与任意向量都平行的向量是零向量？（ ）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（ ）（6）两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（ ）（7）共线向量一定在同一直线上 （ ）【答案】（1） （2） (3） （4）（5）（6）（7）例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、相等的向量.例2.如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，所以每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2点睛:本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和数形结合思想五、课堂小结1向量的概念；2向量的表示：代数表示、几何表示；3研究向量的两个方面：大小：零向量、单位向量；方向：共线向量、平行向量；大小与方向：相等向量、相反向量4数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对的讨论）。六、课后作业习题6.1 2,3题六、课后反思本节课是“平面向量及其应用”的起始课,依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面:(1)通过平面向量的概念形成,让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征;(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。