2020年四川省达州市中考数学试卷试题带答案.pdf

2020 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示， 正确的是() A 7 1.002 10B 6 1.002 10C 4 1002 10D 2 1.002 10万 2 （3 分）下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是() A3.14B 10 3 C12D17 3 （3 分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中，手的对面是口的是() AB CD 4 （3 分）下列说法正确的是() A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B确定事件一定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 5（3 分） 图 2 是图 1 中长方体的三视图， 用S表示面积， 2 3Sxx 主 ， 2 Sxx 左 ， 则(S 俯 ) A 2 32xxB 2 21xxC 2 43xxD 2 24xx 6 （3 分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列 代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是() A12(1)m B48(m 2)m C12(2)8m D1216m 7 （3 分）中国奇书易经中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳 计数” 如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出 生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是() A10B89C165D294 8（3 分） 如图， 在半径为 5 的O中， 将劣弧AB沿弦AB翻折， 使折叠后的AB恰好与OA、 OB相切，则劣弧AB的长为() A 5 3 B 5 2 C 5 4 D 5 6 9 （ 3 分 ） 如 图 ， 直 线 1 ykx与 抛 物 线 2 2 yaxbxc交 于A、B两 点 ， 则 2 ()yaxbk xc的图象可能是() AB CD 10 （3 分） 如图，45BOD，BODO， 点A在OB上， 四边形ABCD是矩形， 连接AC、 BD交于点E，连接OE交AD于点F下列 4 个判断：OE平分BOD；OFBD； 2DFAF；若点G是线段OF的中点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个 数是() A4B3C2D1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业” “改 革开放”“伟大复兴” 三个部分， 某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分， 制作扇形统计图 以 下是打乱了的统计步骤： 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 12 （3 分）如图，点( 2,1)P 与点( , )Q a b关于直线1(1)y 对称，则ab 13 （3 分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角 仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52若测角仪的高度是 1m， 则大树AB的高度约为（结果精确到1m 参考数据：sin520.78，cos520.61 ， tan521.28) 14 （3 分）如图，点A、B在反比函数 12 y x 的图象上，A、B的纵坐标分别是 3 和 6， 连接OA、OB，则OAB的面积是 15 （3 分）已知ABC的三边a、b、c满足 2 |3|84119bcaab ，则ABC的 内切圆半径 16（3 分） 已知k为正整数， 无论k取何值， 直线 1 1 :1ykxk与直线 2 1 :(1)2ykxk 都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线 1 1和 2 1与x轴围成的三角形面积为 k S， 则 1 S ， 123100 SSSS的值为 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分）分） 17 （5 分）计算： 2203 1 2( )(5)125 3 18 （7 分）求代数式 2 212 (1) 121 xx x xxx 的值，其中21x 19 （7 分）如图，点O在ABC的边BC上，以OB为半径作O，ABC的平分线BM交 O于点D，过点D作DEBA于点E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ，补全图形； （2）判断O与DE交点的个数，并说明理由 20 （7 分）争创全国文明城市，从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程， 为了解学生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 948390869488961008982 94828489889398949392 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级成绩/分频数 A95100 x a B9095x8 C8590 x5 D8085x4 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：a ，b ； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知A等级中有 2 名女生，现从A等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率 21 （8 分）如图，ABC中，2BCAB，D、E分别是边BC、AC的中点将CDE绕 点E旋转 180 度，得AFE （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知3AB ，8ADBF，求四边形ABDF的面积S 22 （8 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套） 餐桌 a 380940 餐椅140a160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中a的值； （2） 该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张， 且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以 零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23 （8 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90B ，6ABcm，2CDcmP为 线段BC上的一动点， 且和B、C不重合， 连接PA， 过点P作PEPA交射线CD于点E 聪 聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的 对应值： 当6BCcm时，得表1: /BP cm 12345 /CE cm 0.831.331.501.330.83 当8BCcm时，得表2: /BP cm 1234567 /CE cm 1.172.002.502.672.502.001.17 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限 制 填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度 为自变量，的长度为因变量； 设BCmcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围 24 （10 分） （1）阅读与证明 如图 1，在正ABC的外角CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在 CAH内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G 完成证明：点E是点C关于AM的对称点， 90AGE，AEAC，12 正ABC中，60BAC，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，126034180 ，13 在AEG中，3190FEG ，FEG 求证：2BFAFFG （2）类比与探究 把（1）中的“正ABC”改为“正方形ABDC” ，其余条件不变，如图 2类比探究，可得： FEG； 线段BF、AF、FG之间存在数量关系 （3）归纳与拓展 如图 3， 点A在射线BH上，ABAC，(0180 )BAC ， 在CAH内引射线AM， 作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、 G则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 2 2 yx与x轴交于点A，与y 轴交于点B，过A、B两点的抛物线 2 yaxbxc与x轴交于另一点( 1,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使 PABOAB SS ？若存在，请求出点P的坐标，若不存 在，请说明理由； （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当MAB的面积最大时，求 1 2 MNON的最小值 2020 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示， 正确的是() A 7 1.002 10B 6 1.002 10C 4 1002 10D 2 1.002 10万 【解答】解：1002 万用科学记数法表示为 7 1.002 10， 故选：A 2 （3 分）下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是() A3.14B 10 3 C12D17 【解答】解：39，416， A、3.14 是有理数，故此选项不合题意； B、 10 3 是有理数，故此选项不符合题意； C、12是比 3 大比 4 小的无理数，故此选项符合题意； D、17比 4 大的无理数，故此选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中，手的对面是口的是() AB CD 【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意； B、手的对面是口，符合题意； C、手的对面是罩，不符合题意； D、手的对面是罩，不符合题意； 故选：B 4 （3 分）下列说法正确的是() A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B确定事件一定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 【解答】解：A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误； B确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误； C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那么 这组数据的众数为 98 和 99，此选项错误； D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6，此选项正确； 故选：D 5（3 分） 图 2 是图 1 中长方体的三视图， 用S表示面积， 2 3Sxx 主 ， 2 Sxx 左 ， 则(S 俯 ) A 2 32xxB 2 21xxC 2 43xxD 2 24xx 【解答】解： 2 33Sxxx x 主 ， 2 1Sxxx x 左 ， 俯视图的长为3x，宽为1x， 则俯视图的面积 2 3143Sxxxx 俯 ， 故选：C 6 （3 分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列 代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是() A12(1)m B48(m 2)m C12(2)8m D1216m 【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为 128 21216mm 而12(1)12121216mmm，48(m 2)1216mm，12(2)81216mm， 所以A选项表达错误，符合题意； B、C、D选项表达正确，不符合题意； 故选：A 7 （3 分）中国奇书易经中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳 计数” 如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出 生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是() A10B89C165D294 【解答】解： 3210 251 53 545294 ， 故选：D 8（3 分） 如图， 在半径为 5 的O中， 将劣弧AB沿弦AB翻折， 使折叠后的AB恰好与OA、 OB相切，则劣弧AB的长为() A 5 3 B 5 2 C 5 4 D 5 6 【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O，连接O A、O B， OAOBO AO B， 四边形OAO B为菱形， 折叠后的 AB与OA、OB相切， O AOA ，O BOB， 四边形OAO B为正方形， 90AOB， 劣弧AB的长 9055 1802 故选：B 9 （ 3 分 ） 如 图 ， 直 线 1 ykx与 抛 物 线 2 2 yaxbxc交 于A、B两 点 ， 则 2 ()yaxbk xc的图象可能是() AB CD 【解答】解：设 21 yyy， 1 ykx， 2 2 yaxbxc， 2 ()yaxbk xc， 由图象可知，在点A和点B之间，0y ，在点A的左侧或点B的右侧，0y ， 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意； 故选：B 10 （3 分） 如图，45BOD，BODO， 点A在OB上， 四边形ABCD是矩形， 连接AC、 BD交于点E，连接OE交AD于点F下列 4 个判断：OE平分BOD；OFBD； 2DFAF；若点G是线段OF的中点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个 数是() A4B3C2D1 【解答】解：四边形ABCD是矩形， EBED， BODO， OE平分BOD， 故正确； 四边形ABCD是矩形， 90OADBAD， 90ABDADB， OBOD，BEDE， OEBD， 90BOEOBE， BOEBDA， 45BOD，90OAD， 45ADO， AOAD， ()AOFABD ASA ， OFBD， 故正确； AOFABD ， AFAB， 连接BF，如图 1， 2BFAF， BEDE，OEBD， DFBF， 2DFAF， 故正确； 根据题意作出图形，如图 2， G是OF的中点，90OAF， AGOG， AOGOAG， 45AOD，OE平分AOD， 22.5AOGOAG ， 67.5FAG，22.5ADBAOF ， 四边形ABCD是矩形， EAED， 22.5EADEDA， 90EAG， 45AGEAOGOAG， 45AEG， AEAG， AEG为等腰直角三角形， 故正确； 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业” “改 革开放”“伟大复兴” 三个部分， 某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分， 制作扇形统计图 以 下是打乱了的统计步骤： 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 【解答】解：正确的统计顺序是： 收集三个部分本班学生喜欢的人数； 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比； 绘制扇形统计图； 故答案为： 12 （3 分）如图，点( 2,1)P 与点( , )Q a b关于直线1(1)y 对称，则ab5 【解答】解：点( 2,1)P 与点( , )Q a b关于直线1(1)y 对称， 2a ，3b ， 235ab ， 故答案为5 13 （3 分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角 仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52若测角仪的高度是 1m， 则大树AB的高度约为11（结果精确到1m 参考数据：sin520.78，cos520.61 ， tan521.28) 【解答】 解： 如图， 过点D作DEAB， 垂足为E， 由题意得，8BCDE，52ADE， 1DECD 在Rt ADE中，tan8 tan5210.24ADDEADE ， 10.241 11ABAEBE （米) 故答案为：11 14 （3 分）如图，点A、B在反比函数 12 y x 的图象上，A、B的纵坐标分别是 3 和 6， 连接OA、OB，则OAB的面积是9 【解答】解：点A、B在反比函数 12 y x 的图象上，A、B的纵坐标分别是 3 和 6， (4,3)A，(2,6)B， 作ADy轴于D，BEy轴于E， 1 126 2 AODBOE SS ， OABAODBOEABEDABED SSSSS 梯形梯形 ， 1 (42)(63)9 2 AOB S， 故答案为 9 15 （3 分）已知ABC的三边a、b、c满足 2 |3|84119bcaab ，则ABC的 内切圆半径1 【解答】解： 2 |3|84119bcaab ， 22 |3| (4)(12)0cab ， 3c ，4a ，5b ， 222 34255， 222 cab， ABC是直角三角形，90ABC， 设内切圆的半径为r， 根据题意，得 1111 3 4345 2222 ABC Srrr ， 1r， 故答案为：1 16（3 分） 已知k为正整数， 无论k取何值， 直线 1 1 :1ykxk与直线 2 1 :(1)2ykxk 都交于一个固定的点，这个点的坐标是( 1,1)；记直线 1 1和 2 1与x轴围成的三角形面积 为 k S，则 1 S ， 123100 SSSS的值为 【解答】解：直线 1 1 :1(1)1ykxkk x ， 直线 2 1 :(1)2ykxk经过点( 1,1)； 直线 2 1 :(1)2(1)(1)1(1)(1)1ykxkk xxkx ， 直线 2 1 :(1)2ykxk经过点( 1,1) 无论k取何值，直线 1 l与 2 l的交点均为定点( 1,1) 直线 1 1 :1ykxk与x轴的交点为 1 ( k k ，0)， 直线 2 1 :(1)2ykxk与x轴的交点为 2 ( 1 k k ，0)， 1121 | 1 212 (1) K kk S kkk k ， 1 111 21 24 S ； 123100 1111 2 1 22 3100 101 SSSS 111111 (1)()() 2223100101 11 (1) 2101 1100 2101 50 101 故答案为( 1,1)； 1 4 ； 50 101 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分）分） 17 （5 分）计算： 2203 1 2( )(5)125 3 【解答】解：原式49 1 5 1 18 （7 分）求代数式 2 212 (1) 121 xx x xxx 的值，其中21x 【解答】解：原式 2 2 2112 () 11(1) xxx xxx 2 2 22 ) 1(1) xxx xx 2 (2) (1) 12 x xx xx (1)x x 当21x 时， 原式( 21)( 21 1) ( 21)2 22 19 （7 分）如图，点O在ABC的边BC上，以OB为半径作O，ABC的平分线BM交 O于点D，过点D作DEBA于点E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ，补全图形； （2）判断O与DE交点的个数，并说明理由 【解答】解： （1）如图，O，射线BM，直线DE即为所求 （2）直线DE与O相切，交点只有一个 理由：OBOD， ODBOBD， BD平分ABC， ABMCBM， ODBABD ， / /ODAB， DEAB， DEOD， 直线AE是O的切线， O与直线DE只有一个交点 20 （7 分）争创全国文明城市，从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程， 为了解学生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 948390869488961008982 94828489889398949392 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级成绩/分频数 A95100 x a B9095x8 C8590 x5 D8085x4 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：a 3，b ； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知A等级中有 2 名女生，现从A等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率 【解答】解： （1）由题意知20(854)3a ， 8 %100%40% 20 b，即40b ； 故答案为：3、40； （2）估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数为 83 1200660 20 （人)； （3）列表如下： 男女女 男（男，女）（男，女） 女（男，女）（女，女） 女（男，女）（女，女） 所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种， 恰好抽到一男一女的概率为 42 63 21 （8 分）如图，ABC中，2BCAB，D、E分别是边BC、AC的中点将CDE绕 点E旋转 180 度，得AFE （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知3AB ，8ADBF，求四边形ABDF的面积S 【解答】解： （1）结论：四边形ABDF是菱形 CDDB，CEEA， / /DEAB，2ABDE， 由旋转的性质可知，DEEF， ABDF，/ /ABDF， 四边形ABDF是平行四边形， 2BCAB，BDDC， BABD， 四边形ABDF是菱形 （2）连接BF，AD交于点O 四边形ABDF是菱形， ADBF，OBOF，AOOD，设OAx，OBy， 则有 222 228 3 xy xy ， 4xy， 22 216xxyy， 27xy， 1 27 2 ABDF SBFADxy 菱形 22 （8 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套） 餐桌 a 380940 餐椅140a160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中a的值； （2） 该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张， 且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以 零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）根据题意得： 6001300 140aa ， 解得260a ， 经检验，260a 是原分式方程的解 答：表中a的值为 260 （2）设购进餐桌x张，则购进餐椅(520)x 张， 根据题意得：520 200 xx， 解得：30 x 设销售利润为y元， 根据题意得： 111 9402604(260140)(380260)160(260140) (5204)280800 222 yxxxxx ， 2800k ， 当30 x 时，y取最大值，最大值为：280 308009200 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元 23 （8 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90B ，6ABcm，2CDcmP为 线段BC上的一动点， 且和B、C不重合， 连接PA， 过点P作PEPA交射线CD于点E 聪 聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的 对应值： 当6BCcm时，得表1: /BP cm 12345 /CE cm 0.831.331.501.330.83 当8BCcm时，得表2: /BP cm 1234567 /CE cm 1.172.002.502.672.502.001.17 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限 制 填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的 长度为自变量，的长度为因变量； 设BCmcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围 【解答】 （1）证明：/ /ABCD， 90BC ， 90B ， 90BC ， APPE， 90APE， 90APBEPC， 90EPCPEC， APBPEC， ABPPCE （2）解：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长 度为自变量，EC的长度为因变量， 故答案为：BP，EC 设BPxcm，CEycm ABPPCE， ABBP PCCE ， 6x mxy ， 2 22 1111 () 666224 m yxmxxm ， 1 0 6 ， 1 2 xm时，y有最大值 2 24 m ， 点E在线段CD上，2CDcm， 2 2 24 m ， 4 3m ， 04 3m 24 （10 分） （1）阅读与证明 如图 1，在正ABC的外角CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在 CAH内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G 完成证明：点E是点C关于AM的对称点， 90AGE，AEAC，12 正ABC中，60BAC，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，126034180 ，13 60 在AEG中，3190FEG ，FEG 求证：2BFAFFG （2）类比与探究 把（1）中的“正ABC”改为“正方形ABDC” ，其余条件不变，如图 2类比探究，可得： FEG； 线段BF、AF、FG之间存在数量关系 （3）归纳与拓展 如图 3， 点A在射线BH上，ABAC，(0180 )BAC ， 在CAH内引射线AM， 作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、 G则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 【解答】 （1）解：如图 1 中，点E是点C关于AM的对称点， 90AGE，AEAC，12 正ABC中，60BAC，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，126034180 ， 1360 在AEG中，3190FEG ， 30FEG 故答案为 60，30 证明：如图 1 中，连接CF，在FB上取一点T，使得FTCF，连接CT C，E关于AM对称， AM垂直平分线段EC， FEFC， 30FECFCE ，2EFFG， 60CFTFECFCE， FCFT， CFT是等边三角形， 60ACBFCT ，CFCTFT， BCTACF， CBCA， ()BCTACF SAS ， BTAF， 2BFBTFTAFEFAFFG （2）解：如图 2 中，ABACAE， 点A是ECB的外接圆的圆心， 1 2 BECBAC， 90BAC， 45FEG 故答案为 45 结论：22BFAFFG 理由：如图 2 中，连接CF，在FB上取一点T，使得FTCF，连接CT AMEC，CGCE， FCEF， 45FECFCE ，2EFFG， 90CFTFECFCE， CFCT， CFT是等腰直角三角形， 2CTCF， ABC是等腰直角三角形， 2BCAC， CTCB CFCA ， 45BCATCF ， BCTACF， BCTACF， 2 BTBC AFAC ， 2BTAF， 22BFBTTFAFFG （3）如图 3 中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FTCF ABAC，BAC， 1 1 2 sin 2 BC AC ， 1 2 sin 2 BC AC ， ABACAE， 11 22 BECBAC， 1 sin 2 FG EF ， FCFE， 1 2 FECFCE ， CFTFECFCE， 同法可证，BCTACF， 1 2 sin 2 BTBC AFAC ， 1 2sin 2 BTAF， 1 2sin 2 BFBTFTAFEF即 1 2sin 1 2 sin 2 FG BFAF 故答案为： 1 2sin 1 2 sin 2 FG BFAF 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 2 2 yx与x轴交于点A，与y 轴交于点B，过A、B两点的抛物线 2 yaxbxc与x轴交于另一点( 1,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使 PABOAB SS ？若存在，请求出点P的坐标，若不存 在，请说明理由； （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当MAB的面积最大时，求 1 2 MNON的最小值 【解答】解： （1）直线 1 2 2 yx与x轴交于点A，与y轴交于点B， 点(4,0)A，点(0, 2)B， 设抛物线解析式为：(1)(4)ya xx， 24a ， 1 2 a， 抛物线解析式为： 2 113 (1)(4)2 222 yxxxx； （2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作/ /OPAB，交抛物线与点P， / /OPAB， ABP和ABP是等底等高的两个三角形， PABABO SS ， / /OPAB， 直线PO的解析式为 1 2 yx， 联立方程组可得 2 1 2 13 2 22 yx yxx ， 解得： 22 2 12 x y 或 22 2 12 x y ， 点(22 2P，12)或(22 2，12)； 当点 P 在直线AB下方时，在OB的延长线上截取2BEOB，过点E作/ /EPAB，交抛 物线于点 P ， / / /ABEPOP，OBBE， ABO ABP SS ， / /EPAB，且过点(0, 4)E， 直线 EP 解析式为 1 4 2 yx， 联立方程组可得 2 1 4 2 13 2 22 yx yxx ， 解得 2 3 x y ， 点(2, 3) P ， 综上所述：点P坐标为(22 2，12)或(22 2，12)或(2, 3)； （3）如图 2，过点M作MFAC，交AB于F， 设点 2 13 ( ,2) 22 M mmm，则点 1 ( ,2) 2 F mm， 22 1131 2(2)(2)2 2222 MFmmmm ， MAB的面积 22 11 4 (2)2(2)4 22 mm ， 当2m 时，MAB的面积有最大值， 点(2, 3)M， 如图 3，过点O作30KOB，过点N作KNOK于K点，过点M作MROK于R， 延长MF交直线KO于Q， 30KOB，KNOK， 1 2 KNON， 1 2 MNONMNKN， 当点M， 点N， 点K三点共线， 且垂直于OK时， 1 2 MNON有最小值， 即最小值为MP， 30KOB， 直线OK解析式为3yx， 当2x 时，点(2Q，2 3)， 2 33QM， / /OBQM， 30PQMPON ， 13 3 22 PMQM， 1 2 MNON的最小值为 3 3 2