6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册.doc

第六章 平面向量及其应用6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例一、教学目标1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题；2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。三、教学过程：1、创设情境： 如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。教师提出本节课解决的问题-应用余弦定理、正弦定理解决实际问题探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，问题1：如何求AB间的距离？学生小组活动探究二. 建构数学1（1）基线的概念在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线（2）选择原则在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。(2)方向角如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. 三. 数学应用例1 完成探究1解：在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离变式训练：1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，则，两点间的距离是解：，在三角形中，由正弦定理，得，、两点的距离为，2.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，则A、B两个中继站的距离是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.例2 图，在点和点测得淮安电视塔塔顶的仰角分别为和（点、与塔底在同一直线上）又测得米，根据所测数据可求淮安电视塔的高度.解:，在三角形中，由正弦定理，得，、两点的距离为，答：淮安电视塔的高度50m变式训练：如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解：设电视塔AB的高为x，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，即(x)2x24022x40cos120，解得x40，答：电视塔的高为40 m.例3.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：则求救援船到达D点所需要的时间【答案】1小时.【解析】由题意可知：在中，则，由正弦定理得：，由，代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.在中，由余弦定理得：，即该救援船到达点所需的时间小时.故答案为:1小时.变式训练：如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处，此时两船相距10 海里乙船每小时航行_海里【答案】30【解析】连接A1B2，由题意知，A1B120，A2B210，A1A230 10 (海里)又B2A2A118012060，A1A2B2是等边三角形，B1A1B21056045.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210(海里)因此乙船的速度大小为6030(海里/小时)故答案为:30海里/小时四、小结：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 变形：，应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； （2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。正弦定理： 应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；（2） 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 题型:(1)距离问题；(2)底部不可到达的建筑物的高度； (3)角度问题。五、作业：习题6.4.3