6.2.2 平面向量的数量积（精讲）（解析版）.docx

6.2.2 平面向量的数量积（精讲）思维导图常见考法考法一 向量的数量积【例1】（1）（2021巴音郭楞蒙古自治州）已知，与的夹角为60，则_.（2）（2021江苏高一）已知是边长为6的正三角形，求=_（3）（2020江西宜春市高一期末）边长为2的菱形中，、分别为，的中点，则 【答案】（1）10（2）（3）【解析】（1）.故答案为：10.（2）如图是边长为的正三角形，所以，所以，故答案为：（3）由题意画出示意图，如图，则.【一隅三反】1（2020全国高一）在中，则的值为（ ）AB5CD【答案】D【解析】，.故选：D.2（2020全国高一）若，则的最大值为_.【答案】6【解析】，所以.故答案为:3（2020福建泉州市高一期末）平行四边形中，是线段的中点，则（ ）A0B2C4D【答案】C【解析】如图，根据题意：，且，故选：4（2021江苏高一）在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（ ）ABC1D【答案】B【解析】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，所以，因此.故选：B.考法二 向量的夹角【例2】（1）（2021广东潮州）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）A1B-1CD-（2）（2021河南信阳市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )ABCD【答案】（1）C（2）D【解析】（1）平面向量，满足，且，解得.故选：C（2）非零向量，满足，平方得，即 ，则，由，平方得得，即则， 则向量与的夹角的余弦值 ， ，故选D.【一隅三反】1（2021胶州市）已知，则与的夹角为_.【答案】【解析】根据已知条件，去括号得：，所以，故答案为：2（2021河南）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 【答案】120【解析】.设向量与向量的夹角为则.又，所以3（2021陕西西安市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是_【答案】【解析】因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，设向量与的夹角为，则因为，所以故答案为：考法三 向量的投影【例3】（1）（2020四川绵阳市三台中学实验学校高一月考）已知向量，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）ABCD（2）（2020江西宜春市高一期末）已知，为单位向量，则在上的投影为（ ）ABCD【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为向量，且与的夹角为所以，故选：B（2）因为，为单位向量，所以，又，所以所以，即，所以，则，所以在上的投影为.故选：C.【一隅三反】1（2020合肥市第六中学高一月考）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】由题意，所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.2（2020江西省崇义中学）设向量满足，且，则向量在向量上的投影的数量为( )A1BCD【答案】D【解析】,.,向量在向量上的投影的数量为.故选：D.3（2020全国高一专题练习）设向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）ABCD【答案】D【解析】，.，.设与方向相同的单位向量为，向量和向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.故选:D.4（2020安徽蚌埠市高一期末）设单位向量、的夹角为，则在方向上的投影为（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意得，因此在方向上的投影为，故选A.考法四 向量的模长【例4】（2020河北邢台市）已知，且向量与的夹角为，则（ ）AB3CD【答案】A【解析】因为，与的夹角为，所以，则.故选：A.【一隅三反】1.（2020台州市金清中学高一期末）已知，与的夹角为，那么等于 【答案】【解析】，.2（2020四川省叙永县第一中学校高一期中）已知、满足：，则_.【答案】【解析】，因为，所以，所以，可得，故答案为：.3（2020广东佛山市高一期末）已知，则的最大值等于 【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，4（2020浙江杭州市高一期末）若平面向量满足，则_【答案】【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：考法五 平面向量运算的综合运用【例5-1】（2020黄梅国际育才高级中学高一期中）已知平面向量，在下列命题中：为单位向量，且，则；存在唯一的实数，使得；若且，则；与共线，与共线，则与共线；.正确命题的序号是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为为单位向量，且，所以，则，故正确；若，满足，但不能推出存在唯一的实数，使得，故错误；向量的数量积运算不满足消去律，故错误；若，则与不一定共线，故错误；由于，所以，故正确故选：C【例5-2】（2020全国高一）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（ ）AB4C-5D5【答案】A【解析】因为点是线段的中点，所以向量，所以，又因为向量，方向相反，所以.故选：A.【一隅三反】1（2020北京朝阳区人大附中朝阳学校高一期末）已知非零平面向量，下列结论中正确的是（ ）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（2）（3）（4）【答案】B【解析】已知非零平面向量，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.2（2020湖北高一期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】C【解析】因为，所以 ，所以，即，由基本不等式的性质可知，所以故选：C3（2020浙江杭州市高一期末）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，若对任意模为2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故选：B4（2020浙江高一期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A. 17 / 17