华南理工大学高等数学 11届 统考卷下.doc

高等数学下册试卷2012614姓名： 学院与专业： 学号： 一、 填空题共20分1. 3 2. 设,则 3. 曲面在处的切平面方程是4. 假设, 则5. 设为上与之间的弧段，则二、（本题8分）设函数具有二阶连续偏导数, 求函数的混合二阶偏导数解: 从而同理（或由连续）可得三、（本题8分）求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变。解 方向导数沿梯度反方向减少得最快，即方向，单位化为沿垂直梯度的方向的值不变，即的方向，解得四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：三重积分,的面积证明 设，则由于高斯公式条件满足，从而有的面积五、（本题8分）计算, 其中是一段正弦曲线沿增大方向解: 令, 则，补线段从而另解 原式对于，由于令, 则在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线为积分路径得故原式六、（本题8分）计算, 其中是球面在平面之上的部分解 由题意曲面为，则从而七、（本题8分）计算曲面积分,其中为介于与之间的部分得的下侧.解 补平面区域取上侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧, 围成由高斯公式 故 原式八、（本题7分）求微分方程的通解解 设，则，原式即为或由，分离变量，两边积分，即，从而为通解（为任意常数）注：如果看出，则计算过程会简单些！九、（本题7分）求微分方程的通解解 对应的齐次方程的特征方程为对照非齐次项的标准形式不是特征根，故特解的待定形式为，代入非齐次方程，得从而原方程的通解为十、（非化工类做）（本题7分）求幂级数的收敛域.解 当时，由于，级数收敛，故幂级数也收敛因此当时幂级数绝对收敛而收敛。从而收敛域为十一（非化工类做）（本题7分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解 由于，； 从而十二、（非化工类做）（本题7分）设函数展开成正弦级数。.解: 作奇延拓，再作周期延拓。由新函数的奇函数性质， 所以 十、（化工类做）（本题7分）求微分方程的通解十一、（化工类做）（本题7分）求的极值十二、（化工类做）（本题7分）验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求出它的一个原函数（化工类，参考书上例题做，解略）共5页第5页