专题11.4 随机事件的概率与古典概型（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）.docx

专题11.4 随机事件的概率与古典概型【考纲要求】1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.【知识清单】知识点1. 随机事件的概率1随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示2频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率3互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件) (或)相等关系若且，那么称事件与事件相等并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)(或)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)(或)互斥事件若为不可能事件，那么称事件与事件互斥对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.来源:Z#xx#k.Com由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.5概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：.来源:学.科.网(3)不可能事件的概率：.(4)互斥事件的概率加法公式：(互斥)，且有 (彼此互斥)(5)对立事件的概率：知识点2. 古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性概率公式：P(A).常用结论1频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小2互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立3概率加法公式的注意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)P(B)可能不成立【考点梳理】考点一 ： 随机事件间的关系【典例1】（2020云南高二月考）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）A至少有1个白球；都是白球B至少有1个白球；至少有1个红球C恰有1个白球；恰有2个白球D至少有1个白球；都是红球【典例2】（2020云南丽江第一高级中学高二期中）抽查件产品，设“至少抽到件次品”为事件，则的对立事件是（ ）A至多抽到件正品B至多抽到件次品C至多抽到件正品D至多抽到件正品【总结提升】事件间的关系的判断方法1.判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系2.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断3.判断互斥、对立事件的2种方法: (1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2) 集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，AB；A，B对立时，AB且ABU(U为全集)两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件【变式探究】1.（2019湖南长郡中学高二期中）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）A“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C“都是白球”与“至少有一个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是黑球”2.（多选题）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）A2张卡片不全为红色B2张卡片恰有一张红色C2张卡片至少有一张红色D2张卡片都为绿色考点二 ：随机事件的频率与概率【典例3】设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）A事件AB，则P（A）P（B）B若A和B互斥，则A和B一定相互独立C若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D P（A）+P（B）1【典例4】（2016高考新课标2文选）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160”.求的估计值；【总结提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率3求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数【变式探究】1（2020黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次数102030405060708090100投中次数7152330384553606875投中频率投中次数8142332354352617080投中频率下面有三个推断：当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（ ）.ABCD2.(2019沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？考点三 ：互斥事件与对立事件的概率【典例5】（2020海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A62%B56%C46%D42%【典例6】（多选题）中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】由题意可知，事件与事件为对立事件，且事件、互斥，.故选：ABC.【规律方法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率2. 判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系3对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.【变式探究】1. （2018全国高考真题（文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3B0.4C0.6D0.72.（多选题）（2020烟台市教育科学研究院高一期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）A事件发生的概率为B事件发生的概率为C事件发生的概率为D从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【特别提醒】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点四 ：简单的古典概型【典例7】（2020全国高考真题（文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）ABCD【典例8】（2017课标II，文11）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 【总结提升】1.计算古典概型事件的概率可分三步 (1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率2. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.【变式探究】1.（2019全国高考真题（文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）ABCD2.（2017全国高考真题（文）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）ABCD【特别提醒】1. 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识2.古典概型中的基本事件都是互斥的考点五 ： 复杂的古典概型【典例9】通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为_【典例10】（2020云南省保山第九中学高三月考（文）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率【特别提醒】1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解2注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用【变式探究】1（2020浙江高三月考）在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有_种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为_.2.（浙江高考真题（文）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球. 已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的概率是. 求：（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（2）袋中白球的个数考点六 ：古典概型的交汇问题【典例11】设连续掷两次骰子得到的点数分别为，令平面向量，则事件“”发生的概率为_；事件“”发生的概率为_.【典例12】（2019上海市建平中学高三）已知方程表示的曲线为，任取，则曲线表示焦距等于的椭圆的概率等于_.【特别提醒】求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识(平面向量、直线与圆、函数、统计等)转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：【变式探究】1若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为，则实数a的取值范围为_2.（2020安徽高二期中（理）已知向量.若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率. 第12页，总12页