专题11.1 两个计数原理（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）.docx

专题11.1 两个计数原理【考纲要求】1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.【知识清单】知识点1. 分类加法计数原理 1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+种不同的方法.知识点2. 分步乘法计数原理1分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.2. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【考点梳理】考点一 ：分类加法计数原理【典例1】（2020北京高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（ ）ABCD【典例2】（2012北京高考真题（理）从0，2中选一个数字从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为( )A24 B18 C12 D6【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏【变式探究】1.（2019内蒙古集宁一中高二月考（理）书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有()A22种B350种C32种D20种2. （2012四川高考真题（文）方程ay=b2x2+c中的a,b,c-2,0,1,2,3，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A28条B32条C36条D48条【总结提升】分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理考点二 ： 分步乘法计数原理【典例3】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A.24 B.18 C.12 D.9【典例4】（2020陕西高三二模（理）回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，191，202，999.则四位回文数有_个，位回文数有_个.【总结提升】应用分步乘法计数原理的注意事项(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成【变式探究】1. （2020福建福州高三其他模拟（理）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（ ）A12种B24种C72种D216种2. （2019浙江高三其他模拟）五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有_种（用数字作答）考点三 ： 计数原理的综合运用【典例5】（2020江苏扬州中学高一月考）已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）A49B48C47D46【典例6】（2019安徽六安一中高二月考（理）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有_种涂色方法【典例7】（2020浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位偶数.【总结提升】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要准确确定4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化 (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的6. 应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏7. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理【变式探究】1.（2020浙江杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_.2.（2020北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下：船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）每船租金（元/小时）90100130某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能3.（浙江省金华市浦江县2018年高考适应）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有_种第6页，总6页