【高考重难点大题专题练】专题三空间几何体的综合问题-2021届高三数学二轮复习（含解析）.doc
专题三 空间几何体的综合问题总分：70分 建议用时：60分钟三、解答题17、如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.（1）求证：BF平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长18、如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（1）求证：BD平面PAC；（2）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由19、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图所示的二面角，且二面角的大小为60，点M在线段AB上(包含端点)，连接AD.(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60？若存在，求此时二面角MECF的余弦值；若不存在，说明理由20、如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为60，求四棱锥的体积.21、如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值22、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，（）设分别为的中点，求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.答案解析17、解析：(1)证明：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，设F(1,2，h)依题意，(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又(0,2，h)，可得0，又直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，D(0,1,0)，E(0,0,2)，C(1,2,0)，则(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以线段CF的长为.18、【解】(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.19、【答案】见解析【解析】：(1)因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上(如图所示)因为AOBF，M为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，AOBF，所以AO2.故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2.连接DF，交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点连接MN，则MN为DOF的中位线，所以MNOD，又MN平面EMC，OD/ 平面EMC，所以直线OD平面EMC.(2)由已知可得EFAE，EFDE，又AEDEE，所以EF平面ADE.所以平面ABFE平面ADE，易知ADE为等边三角形，取AE的中点H，则易得DH平面ABFE，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，D(0，0，)，C(0，4，)，F(1，4，0)，所以(1，0，)，(1，4，)设M(1，t，0)(0t4)，则(2，t，0)，设平面EMC的法向量为m(x，y，z)，则取y2，则xt，z，所以m为平面EMC的一个法向量要使直线DE与平面EMC所成的角为60，则，所以，整理得t24t30，解得t1或t3，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60，取ED的中点Q，连接QA，则为平面CEF的法向量，易得Q，A(1，0，0)，所以.设二面角MECF的大小为，则|cos |.因为当t2时，cos 0，平面EMC平面CDEF，所以当t1时，cos ，为钝角；当t3时，cos ，为锐角综上，二面角MECF的余弦值为.20、【答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）连接，显然且，四边形为平行四边形，且，是正三角形，又平面平面,平面，又平面，平面平面. （2）连接，易知.建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，.设平面的法向量为，即令，而平面的一个法向量为， 解得，所以. 21、【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于，的点，且为直径，所以 又=，所以平面而平面，故平面平面(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系当三棱锥体积最大时，为的中点由题设得，设是平面的法向量，则即可取是平面的法向量，因此，所以面与面所成二面角的正弦值是22、【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】（I）证明：连接，易知，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为.
