第2章 2.3.2 圆的一般方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc
2.3.2圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点)1通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为3对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？提示圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？提示只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？提示不是，Ax2BxyCy2DxEyF0，只有在AC0，B0且D2E24AF0时才表示圆1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为，半径为的圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F>0()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当a2(2a)24(2a2a1)>0，即2<a<时才表示圆(4)正确因为点M(x0，y0)在圆外，所以>，即xyDx0Ey0F>02(教材P104练习A改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3) D(2，3)D圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)3若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F 4以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216即x2y24x8y40，故F44过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为 x2y23x4y0该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为(y2)2化成一般方程为x2y23x4y0圆的一般方程的概念【例1】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)所表示的图形是圆(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围解(1)已知方程可化为(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t497t26t1，由r27t26t10得t1(2)r，当t时，圆的面积最大，rmax所对应的圆的方程为(3)当且仅当32(4t2)22(t3)32(14t2)4t216t490，点P恒在圆内，8t26t0，0t形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|求圆的一般方程【例2】已知ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标思路探究用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A、B、C三点坐标代入，求出D、E、F即可解设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0将A、B、C三点坐标代入上式得解得ABC外接圆的方程为x2y26x2y150，即(x3)2(y1)225，ABC的外接圆圆心为(3,1)应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程解设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120求动点的轨迹方程探究问题1已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？提示设M(x，y)，则2，整理可得点M的轨迹方程为x2y2162已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程提示设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)【例3】已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y24Bx2y24Cx2y24(x2) Dx2y24(x2)思路探究直角边垂直斜率相乘等于1转化为方程检验C设P(x，y)，由条件知PMPN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMPkNP1即x2y24，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x2，即所求轨迹方程为x2y24(x2)过点A(8,0)的直线与圆x2y24交于点B，则AB中点P的轨迹方程为 (x4)2y21设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x12x8，y12y，故(2x8)2(2y)24，化简得(x4)2y21，则AB中点P的轨迹方程为(x4)2y21求与圆有关的轨迹的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程1本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法(2)应用待定系数法求圆的方程的方法(3)代入法求轨迹方程的一般步骤2本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件1已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围为()A(，1)B(3，)C(，1)(3，) DA方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆2若直线2xym0过圆x2y22x4y0的圆心，则m的值为()A2 B1C2 D0D圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)，直线2xym0过x2y22x4y0的圆心22m0得m03点P(x0，y0)是圆x2y216上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为 x2y24设M(x，y)，则即又(x0，y0)在圆上，4x24y216，即x2y244方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则abc 2根据题意，方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则解得abc25求经过三点A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的一般方程解设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得解得故所求圆的一般方程为x2y27x3y20
