人教版九年级数学第三单元《函数》中考知识点梳理.doc

第三单元函数中考知识点梳理第9讲 平面直角坐标系与函数一、 知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P(x,y)在第一象限x0，y0； 点P(x,y)在第二象限x0，y0； 点P（x,y）在第三象限x0，y0； 点P（x,y）在第四象限x0，y0.（2） 坐标轴上点的坐标特征：在横轴上y0；在纵轴上x0；原点x0，y0.（3）各象限角平分线上点的坐标 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：关于x轴对称的点P1的坐标为(a，b)；关于y轴对称的点P2的坐标为(a，b)；关于原点对称的点P3的坐标为(a，b)（5）点M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1y2|平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=中自变量的取值范围是x-3且x5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： 设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；函数值变化越大，图象越陡峭；当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲 一次函数二、 知识清单梳理知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地，当b 0时，称为正比例函数（2）图象形状：一次函数ykxb是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数ykx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k1时，函数ykxk1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K0，b0K0，b0K0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=2xb，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数ykxb(k0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数ykx(k0)的图象恒过点(0，0)例：一次函数yx2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二 ：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：设：设函数表达式为ykxb(k0)；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k与b的值，得到函数表达式（2）常见类型：已知两点确定表达式；已知两对函数对应值确定表达式；平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x 4时，y的值为负数7.一次函数与方程组y=k2x+by=k1x+b 二元一次方程组 的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b0的解集知识点四 ：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲 反比例函数的图象和性质三、 知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y(k0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y；y=kx-1; xy=k.(其中k为常数，且k0)例：函数y=3xm+1，当m=2时，则该函数是反比例函数2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(a，b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（3，1），则它的解析式是y=3/x.知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y(k0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k0和k0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：SAOC=SOPESBOD.知识点三：反比例函数的实际应用7 .一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲 二次函数的图象与性质四、 知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a0.2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; 交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二 ：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象（1）比较二次函数函数值大小的方法：直接代入求值法；性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0x5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴 x 顶点坐标增减性当x>时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.当x>时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大.3.系数a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号： ab+c即为x=1时，y的值；4a2b+c即为x=2时，y的值. 2a+b的符号，需判断对称轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a1，再根据a的符号即可得出结果.2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、 b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a0，对称轴在y轴左边；当b0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a0，对称轴在y轴右边c决定抛物线与y轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时，抛物线与x轴没有交点知识点三 ：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x2）2知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当b24ac0，两个不相等的实数根；当b24ac0，两个相等的实数根；当b24ac0，无实根例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函数与不等式抛物线y= ax2bxc0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2bxc0的解集.第13讲 二次函数的应用五、 知识清单梳理知识点一：二次函数的应用 关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解. 据题意，结合函数图象求出函数解析式；确定自变量的取值范围；根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数； 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.