19-20 第4章 4.5 4.5.3　函数模型的应用.doc

4.5.3函数模型的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)2能建立函数模型解决实际问题(重点、难点)3了解拟合函数模型并解决实际问题(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.1常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a>0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数模型y2.建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型A自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选A.2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A300只B400只C600只 D700只A将x1，y100代入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100.所以x7时，y100log2(71)300.3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000)By0.3x1 600(0x2 000)Cy0.3x800(0x2 000)Dy0.3x1 600(0x2 000)D由题意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.3x1 600(0x2 000)4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过_年7设二次函数ya(x6)211，又过点(4,7)，所以a1，即y(x6)211.解y0，得6x6，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年利用已知函数模型解决实际问题【例1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，那么降温到32 时，需要多长时间？解先设定半衰期h，由题意知4024(8824)，即，解之，得h10，故原式可化简为T24(8824)，当T32时，代入上式，得3224(8824)，即3，t30.因此，需要30 min，可降温到32 .已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P(tN*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q40t(0<t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解设日销售金额为y(元)，则yPQ，所以y(tN*)当0<t<25且tN*时，y(t10)2900，所以当t10时，ymax900(元)当25t30且tN*时，y(t70)2900，所以当t25时，ymax1 125(元)结合得ymax1 125(元)因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大自建确定性函数模型解决实际问题【例2】牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值思路点拨解(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0<x<m)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2，即当x时，y取得最大值.1(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？解根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y(0<x<m)2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围解由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<xy<m.因为当x时，ymax，所以0<<m，解得2<k<2.又因为k>0，所以0<k<2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题探究问题1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定2对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20152018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨解(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.08<0.1，f(4)8.5，且|8.448.5|0.06<0.1.一次函数模型f(x)1.5x2.5能基本反映年产量的变化(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)1.552.510万件，又年产量减少30%，即1070%7万件，即2019年的年产量为7万件函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入yabx得：用计算器算得a2，b1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系(2)将x175代入y21.02x得y21.02175，由计算器算得y63.98.由于7863.981.22>1.2，所以，这个男生偏胖1函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题1思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型()答案(1)(2)(3)2根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D答案B3若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay0.957 6By(0.957 6)100xCyxDy10.042 4A由题意可知y(95.76%)，即y0.957 6.4已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象解(1)汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s60t(0t2.5)汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s150(2.5t3.5)由B地返回A地，则汽车到A地的距离s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)综上，s它的图象如图(1)所示(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v它的图象如图(2)所示10