大题专练训练40：导数（证明数列不等式1）-2021届高三数学二轮复习.doc

二轮大题专练40导数（证明数列不等式1）1若函数在，上为增函数（）求正实数的取值范围（）若，求证：且解：（）由已知：依题意得：对，恒成立对，恒成立即：（），在，上为增函数，时：即：设，则对，恒成立，在为减函数，时：（1）即：综上所证：且成立2已知函数，为自然对数的底数）（1）求函数的单调区间；（2）记函数的最小值为（a），求（a）取最大值时实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：（其中（1）解：由题意，由，得当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：由（1）知，当时，取得极小值，也为最小值，其最小值为（a）由（a），得（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，（a）在处取得最大值，而（1）因此（a）取得最大值时，（3）证明：由（2）知，当时，对任意实数均有（1），即，即令，1，2，3，则，3已知函数，（）求的最小值；（）若在上恒成立，求的值；（）求证：对一切大于2的正整数都成立解：，当时，时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值（1）由恒成立可得恒成立，设，则，故，函数在处的切线方程为，恒成立由可知恒成立，当且仅当时取等号令，2，3，则，即，对一切大于2的正整数都成立4已知函数（1）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立解：（1）由，得，则，当时，则在，上递增，在，上递增，当时，则在，上递减，在，上递减，且仅有，时，不等式不恒成立，当时，令，当时，在，上递减，从而，在，上递增，即，且仅有，时，不等式不恒成立，综上，的取值范围为：（2）要证对，不等式恒成立，即证，即证，即证，且，对相当于（1）中，有在，上递减，即而且仅有，取，有成立，对相当于（1）中，有，而且仅有，取，有成立，对，不等式恒成立5已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围（）求证：，解：（）由，当时，显然；当时，由得，显然当时，；所以当时，在上单调递增；当时，在上递增；（）由（）问知，当时，递增，且，不合题意，舍去当时，由（）知，当时，当时，所以当时，有极小值也是最小值，即，依题意，式可化为，而由超越不等式知：时取到等号），所以比较上下两式可以发现，即时取到等号），下面给出其证明：令（a），则（a），于是（a）时，同理知当时，（a）有极大值也是最大值，所以（a）（1）比较式可得，（a），即为所求（）由（）知对，有，于是令，则有即有，即（当且仅当时取等号）所以有即，即证6设函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）当且时证明不等式：解：（1），当时，在上递增；当，解得，当时，得，得，当时，得，得；综上可得，当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为，；（2）时，令，在恒正，在，递增，时，即当时，即，对任意的为正整数，取，有，则