教辅：高考数学二轮复习考点-平面向量.doc

考点四平面向量一、选择题1(2020山东菏泽高三联考)已知向量a，b满足a(1,2)，ab(1m,1)，若ab，则m()A2 B2 C D答案D解析b(ab)a(1m,1)(1,2)(m，1)因为ab，所以2m10，解得m.故选D.2(2020山东临沂一模)已知向量a，b，c，其中a与b是相反向量，且acb，ac(3，3)，则ab()A. B C2 D2答案D解析设a(x，y)，则b(x，y)，acb，故c(2x，2y)，ac(3x,3y)(3，3)，故x1，y1，ab(1，1)(1,1)2.故选D.3.(2020山东济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)()A63 B69 C75 D81答案B解析设一只胳膊的拉力为F.两只胳膊的拉力的合力与人所受到的重力大小相等，方向相反，2Fcos30mg，m69，即该学生的体重约为69 kg.4(2020山东淄博二模)在平行四边形ABCD中，3，若AE交BD于点M，则()A. BC. D答案B解析3，E为线段DC靠近点C的四等分点，显然ABMEDM，即，()，故选B.5(2020山东泰安四模)若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B C1 D答案B解析由题意易知即b22ab2，即|b|.故选B.6(2020山西太原高三模拟)平面向量a，b共线的充要条件是()Aab|a|b|Ba，b两向量中至少有一个为零向量CR，baD存在不全为零的实数1，2，1a2b0答案D解析对于A，ab|a|b|成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A错误；对于B，两个非零向量也可以共线，故B错误；对于C，只有当a不是零向量时才成立，故C错误；对于D，当平面向量a，b共线时，若a0，则存在10，20，1a2b0，若a0，则存在一个，使得ba成立，令(20)，则ba，所以1a2b0，因此存在不全为零的实数1，2，1a2b0；当存在不全为零的实数1，2，1a2b0成立时，若实数1，2都不为零，则有ab成立，显然a，b共线，若实数1，2有一个为零，不妨设10，则有2b0b0，所以平面向量a，b共线，所以D正确故选D.7(2020山东泰安二轮复习检测)在直角三角形ABC中，ACB，ACBC2，点P是斜边AB上一点，且BP2PA，则()A4 B2 C2 D4答案D解析如图所示，以CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，则A(0,2)，B(2,0)，P，(0,2)(2,0)4.故选D.8(2020全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()A B C D答案D解析|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2ab52619，|ab|7，cosa，ab.故选D.9.(2020辽宁沈阳东北育才学校高三第八次模拟考试)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若x，则x() A. B C D答案C解析因为F为DE的中点，所以()，而，即有，又x，所以x.故选C.10(2020海南第四次模拟)已知向量a(2，m)，b(1,2)，a(2ab)，则实数m的值为()A1 B C D1答案C解析a(2，m)，b(1,2)，2ab(3,2m2)a(2ab)，(2)(3)m(2m2)，解得m.故选C.11(2020新高考卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6)答案A解析|2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(2，6)，故选A.12(2020山东省实验中学高三6月模拟)已知平面向量a，b满足(ab)b2，且|a|1，|b|2，则|ab|()A. B C1 D2答案C解析由(ab)b2及|b|2，可得ab|b|22，可得ab2，|ab|1，故选C.13(2020湖南湘潭三模)已知向量a，b是两个夹角为的单位向量，且3a5b，4a7b，amb，若A，B，C三点共线，则()A12 B14 C16 D18答案A解析由A，B，C三点共线，得x(1x)(4x)a(72x)b，故解得m1.则(3a5b)(ab)3a28ab5b212.故选A.14(2020海南中学高三第六次月考)已知向量m(a，1)，n(2b1,3)(a>0，b>0)，若mn，则的最小值为()A12 B84 C16 D102答案B解析因为mn，所以3a2b10，所以3a2b1，又因为(3a2b)88284，取等号时即所以min84.故选B.15(2020河南郑州高三质量预测二)已知在直角梯形ABCD 中，ADBC，BAD90，AD2，BC1，P是腰AB上的动点，则|的最小值为()A3 B2 C3 D4答案A解析如图，以直线AD，AB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设ABa(a>0)，则A(0,0)，B(0，a)，C(1，a)，D(2,0)，设P(0，b)(0ba)，则(1，ab)，(2，b)，(3，a2b)，|3，当b时，|取得最小值3.16(2020山西太原二模)已知a，b是两个非零向量，其夹角为，若(ab)(ab)，且|ab|2|ab|，则cos()A. B C D答案B解析由(ab)(ab)，得(ab)(ab)0，可得|a|2|b|20，即|a|b|.由|ab|2|ab|，可得|ab|24|ab|2，即|a|22ab|b|24(|a|22ab|b|2)整理得ab|a|2，cos.故选B.17(2020山东威海三模)已知向量(，2)，将绕原点O逆时针旋转45到的位置，则()A(1,3) B(3,1) C(3,1) D(1,3)答案D解析由题意，向量(，2)，则|，设向量与x轴的夹角为，则cos，sin，所以cos(45)coscos45sinsin45，sin(45)sincos45cossin45，可得|cos(45)1，|sin(45)3，所以(1,3)故选D.18(多选)在ABC中，A，ABAC2，下列四个结论正确的是()A若G为ABC的重心，则B若P为BC边上的一个动点，则()为定值2C若M，N为BC边上的两个动点，且MN，则的最小值为D已知P为ABC内一点，若BP1，且，则的最大值为2答案AC解析因为在ABC中，A，ABAC2，所以ABC为等腰直角三角形对于A，如图1，取BC的中点为D，连接AD，因为G为ABC的重心，所以G在AD上，且AGAD，所以()，故A正确；对于B，如图1，同A，因为D为BC的中点，ABC为等腰直角三角形，所以ADBC，若P为BC边上的一个动点，则在上的投影为|cosPAD|，因此()22|2224，故B错误；对于C，如图2，以A点为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，易得BC所在直线方程为xy2，因为M，N为BC边上的两个动点，所以设M(x1,2x1)，N(x2，2x2)，且x1，x20,2，不妨令x1<x2，因为MN，所以(x1x2)2(x2x1)22，即(x1x2)21，则x2x11，所以x1x2(2x1)(2x2)x1(x11)(2x1)(2x11)2x2x1222，当且仅当x1时，等号成立，故C正确；对于D，同C中建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)，(0,2)，设P(x，y)，则(x，y)，又，所以即因为P为ABC内一点，且BP1，设PBA，则，且xxBBPcos2cos，yBPsinsin，因此y1cossinsin1，因为，所以，所以sin无最值，即无最值，故D错误故选AC.二、填空题19(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_.答案解析由题意可得ab11cos45，kab与a垂直，(kab)a0，ka2abk0，解得k.20(2020湖南衡阳二模)若向量a，b满足：a(ab)，|b|2，则|2ab|_.答案2解析a(ab)，a(ab)0，a2ab0，|2ab|24a24abb2|b|24，|2ab|2.21(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_.答案1解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A(0，0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，()(2,0)(2,2)(2,1)，则点P(2,1)，(2，1)，(0，1)，|，0(2)(1)11.22(2020山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知O是ABC的外心，且A，AB5，AC3，若mn，则mn_.答案解析|cosBAO|，同理，|cosA，故(mn)25mn，(mn)m9n，解得m，n，故mn.一、选择题1(2020山东德州一模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且xy，则实数xy的值为()A B C D答案D解析xy，故x，y1，xy.故选D.2(2020深圳高三调研考试二)下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则()A32 B28 C26 D24答案C解析如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|b|1，且a，b的夹角为60，2a4b，4a2b，(2a4b)(4a2b)8a28b220ab88201126.故选C.3若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形答案A解析()(2)0，即()0，()()0，即|，ABC是等腰三角形，故选A.4(2020山西晋中高三四模)已知向量(1,0)，(0,2)，t ，则当|取最小值时，实数t()A. B C D答案C解析由t知P在直线NM上，当OPNM时，|O|最小，如图，(1，2)，|，又|ON|2|NP|NM|，|NP|，|NP|NM|，此时，t.故选C.5.(2020山东新高考质量测评联盟高三5月联考)如图所示，在梯形ABCD中，A，ABCD，AB2，CD1，AD2，E，F分别为边CD，BC的中点，则()A. B C3 D4答案B解析在梯形ABCD中，A，则可建立以A为原点，方向为x，y轴正方向的直角坐标系，如图所示，由题可得A(0,0)，B(2,0)，D(0，2)，C(1,2)，因此E，F，所以，所以2，故选B.6(2020山东滨州三模)已知点O是ABC内一点，且满足2m0，则实数m的值为()A4 B2 C2 D4答案D解析由2m，得.设，则，A，B，D三点共线，如图所示，与反向共线，m>0，m4，故选D.7(多选)(2020山东青岛二模)已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足20，2，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是()A. BC.>0 DS4答案BD解析由20，2，可知点P为AC靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，()，故B正确；对于C，|cos|<0，故C错误；对于D，设ABC的边AB上的高为h，SABC|AB|h3，即|AB|h6，则APQ的面积SAPQ|AQ|h2|AB|h64，故D正确故选BD.8(多选)如图所示，向量的模是向量的模的t倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次(t，)变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量(4,0)，向量经过n1次变换得到的向量为An1An(nN*，n>1)，其中Ai，Ai1，Ai2(iN*)为逆时针排列，记Ai的坐标为(ai，bi)，则下列命题中正确的是()Ab2Bb3k1b3k0(kN*)Ca3k1a3k10(kN*)D8(ak4ak3)(ak1ak)0(kN*)答案ABC解析因为(4,0)，经过一次变换后得到(1，)，点A2(3，)，所以b2，A正确；由题意知An1An(4,0)，所以an42coscoscos，bn2sinsinsin，b3k1b3ksinsin2k0，B正确；a3k1a3k1coscoscos2kcos0，C正确；8(ak4ak3)(ak1ak)8coscoscoscoscoscoscos0，D错误故选ABC.二、填空题9(2020湖南长沙一模)根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题现有ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB4，D为“弦”BC上一点(不含端点)，且ABD满足勾股定理，则()_.答案解析由等面积法可得AD，依题意可得，ADBC，所以()|2.10(2020浙江高考)设e1，e2为单位向量，满足|2e1e2|，ae1e2，b3e1e2，设a，b的夹角为，则cos2的最小值为_答案解析|2e1e2|，|2e1e2|22，即44e1e212，e1e2，又ab(e1e2)(3e1e2)44e1e2，|a|2|e1e2|222e1e2，|b|2|3e1e2|2106e1e2，cos2.11(2020山东聊城一模)已知a(cos，sin)，b(sin，cos)，且100，则向量a与b的夹角_.答案10解析因为a(cos，sin)，b(sin，cos)，所以abcossinsincossin()，|a|1，|b|1，由平面向量的夹角公式可得，cossin()，因为100，所以cossin()sin100sin(9010)cos10，所以向量a与b的夹角为10.12.(2020天津高考)如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为_答案解析，ADBC，BAD180B120，|cos120639，解得.以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，BC6，C(6,0)，AB3，ABC60，点A的坐标为.又，D.设M(x,0)，则N(x1,0)(其中0x5)，2x24x(x2)2，当x2时，取得最小值.三、解答题13如图，设Ox，Oy是平面内相交成60角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设3e12e2.(1)计算|的大小；(2)设向量a(m，1)，若a与共线，求实数m的值；(3)是否存在实数n，使得向量与b(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由解(1)e1e211cos60，所以|3e12e2|.(2)因为a(m，1)me1e2，又a与3e12e2共线，所以存在实数使得a，即me1e2(3e12e2)3e12e2，由平面向量基本定理得解得m.(3)假设存在实数n，使得与向量b(1，n)垂直，则b0，即(3e12e2)(e1ne2)3e(3n2)e1e22ne3|e1|2(3n2)e1e22n|e2|23(3n2)2n0，得n，所以存在实数n，使得向量与b(1，n)垂直14如图，在四边形ABCD中，AD4，AB2.(1)若ABC为等边三角形，且ADBC，E是CD的中点，求；(2)若ACAB，cosCAB， ，求| |.解(1)因为ABC为等边三角形，且ADBC，所以DAB120，又AD2AB，所以AD2BC，因为E是CD的中点，所以( )( ) .又，所以() 2 2 1644211.(2)因为ABAC，AB2，所以AC2，因为，所以()，所以.又| | |cosCAB22，所以.所以| |2| |22224162.所以| |.