2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题2（数学）doc--高中数学 .doc

永久免费组卷搜题网2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何三、解答题(第二部分)31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一点，且CD平面PAB。 （1）求证：AB平面PCB； （2）求二面角CPAB的大小的余弦值。 （1）解：PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB。CD平面PAB，AB平面PAB，CDAB。又PCCDC，AB平面PCB。 （2）解法一：取AB的中点E，连结CE、DE。PCAC2，CEPA，CECD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA。CED为二面角CPAB的平面角。由（1）AB平面PCB，ABBC，又ABBC，AC2，求得BC （2）解法二：ABBC，AB平面PBC，过点B作直线lPA，则lAB，lBC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）。6分设平面PAB的法向量为得 8分设平面PAC的法向量为，解得10分11分12分 （2）解法三：CD平面PAB，是平面PAB的一个法向量。取AC中点F，ABBC，BFAC，又PC平面ABC，有平面PAC平面ABC，BF平面PAC，是平面PAC的一个法向量。7分9分10分32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，ECAC，EFAC，AB，EFEC1， 求证：平面BEF平面DEF；求二面角ABFE的大小。解法1： 证明: 平面ACEF平面ABCD，ECAC，EC平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，正方形ABCD的边长为，ACBD2； 在直角梯形ACEF中，EFEC1，O为AC中点，FOEC，且FO1；易求得DFBF，DEBE，由勾股定理知 DFEF，BFEF，BFD是二面角BEFD的平面角，由BFDF，BD2可知BFD，平面BEF平面DEF （6分）取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，ABBFAF，AMBF，又MNEF，EFBF，MNBF，AMN就是二面角ABFE的平面角。易求得，；在Rt中，可求得，在中，由余弦定理求得， （12分）解法2：平面ACEF平面ABCD，ECAC，EC平面ABCD；建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则,，(2分)设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，则 ， , .由解得,（4分），故平面BEF平面DEF（6分）设平面ABF的法向量为，解得，（8分）（10分）由图知，二面角ABFE的平面角是钝角，故所求二面角的大小为33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，底面，为的中点.DPEABC （）求证：平面平面； （）求直线与平面所成的角； （）求点到平面的距离.解法一：（）设与交点为，延长交的延长线于点，则，又，又，又底面，平面，平面，平面平面（4分）（）连结，过点作于点，则由（）知平面平面，且是交线，根据面面垂直的性质，PEABDCHF得平面，从而即为直线与平面所成的角.在中，在中，. 所以有，即直线与平面所成的角为（8分）（）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，从而点到平面的距离等于（12分）解法二：如图所示，以点为坐标原点，PEABDCzxy直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，.（）由于， ， 所以，所以，而，所以平面，平面，平面平面（4分）（）设是平面的一个法向量，则， 由于，所以有，令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，因此直线与平面所成的角为（8分）（）由（）知是平面的一个法向量，而，所以点到平面的距离为34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点、分别在侧棱、上，且 （）求证：平面；（）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小 解：（）因为四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，则CD侧面PAD 又又5分 （）建立如图所示的空间直角坐标系又PA=AD=2，则有P（0，0，2），D（0，2，0） 设则有同理可得即得8分由而平面PAB的法向量可为故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为35、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点. （）试确定E的位置，使D1E平面AB1F； （）求二面角B1AFB的大小. 解：（）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3）， 设E（2，y，z），则 4分由 为所求 6分（）当D1E平面AB1F时，=（2，1， 8分又分别是平面BEF与平面B1EF的法向量， 9分则二面角B1AFB的平面角等于 10分 11分B1AFB的平面角为36、(广东省2008届六校第二次联考)如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PAADAB1. （1）证明: ;（2）证明: ;（3）求三棱锥BPDC的体积V. 证明:（1）取PD中点Q, 连EQ , AQ , 则 1分 2分 3分 5分(2) . 10分解:（3） 11分.37、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，点且（）证明：；（）求与平面所成的角的正切值；（）若，当为何值时，()证明：因为，所以为等腰直角三角形，所以 1分因为是一个长方体，所以，而，所以，所以 3分因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得4分()解：过点在平面作于，连接5分因为，所以，所以就是与平面所成的角6分因为，所以 7分所以与平面所成的角的正切值为 8分()解：当时， 9分当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以 10分而，与在同一个平面内，所以 11分zxy而，所以，所以 12分方法二：()如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有， 2分于是，所以，3分所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得 4分()，所以，而平面的一个法向量为5分所以 6分所以与平面所成的角的正弦值为 7分所以与平面所成的角的正切值为 8分()，所以，设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为 10分若要使得，则要，即，解得11分所以当时，38、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中 （1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距离解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系1分（1）设E是BD的中点，PABCD是正四棱锥，2分又， 3分 4分 即5分（2）设平面PAD的法向量是，6分7分 取得，8分又平面的法向量是9分 10分（3） 11分到平面PAD的距离14分解法二：（1）设AC与BD交点为O，连PO；PABCD是正四棱锥，PO面ABCD，1分AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，AOBD，3分由三垂线定理知PABD，而BDB1D1；5分（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；6分AO面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，则由三垂线定理知AEO为二面角A-PD-B的平面角； 8分可以计算得，10分（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；由VM-PAD=VP-ADM求得。39、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)在三棱锥中，,.(1) 求三棱锥的体积；(2) 证明:;(3) 求异面直线SB和AC所成角的余弦值。(1)解：且,平面- -2分在中， ,中，,.-4分(2)证法1：由（1）知SA=2, 在中，-6分,-8分证法2：由（1）知平面，面，,面又面，(3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，连结ED、DF、EF、AF，则,（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角-10分在中，,在中，在DEF中，由余弦定理得异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-14分解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B设异面直线SB和AC所成的角为则异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°。 （）证明：BDAA1； （）求二面角DA1AC的平面角的余弦值； （）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。解：连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°A1O2=AA12+AO22AA1·Aocos60°=3AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABCD以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）2分（）由于则BDAA14分 （）由于OB平面AA1C1C平面AA1C1C的法向量设平面AA1D则得到6分所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）假设在直线CC1上存在点P，使BP/平面DA1C1设则得9分设则设得到10分又因为平面DA1C1则·即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP12分法二：在A1作A1OAC于点O，由于平面AA1C1C平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O平面ABCD，又底面为菱形，所以ACBD4分（）在AA1O中，A1A=2，A1AO=60°AO=AA1·cos60°=1所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点由（）可知DO平面AA1C过O作OEAA1于E点，连接OE，则AA1DE则DEO为二面角DAA1C的平面角6分在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60°AC=AB=BC=2AO=1，DO=在RtAEO中，OE=OA·sinEAO=DE=cosDEO=二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）存在这样的点P连接B1C，因为A1B1ABDC四边形A1B1CD为平行四边形。A1D/B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP10分因B1BCC1，12分BB1CP四边形BB1CP为平行四边形则BP/B1CBP/A1DBP/平面DA1C141、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，（1）求证：A1C平面BDE；（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值。（3）设F是CC1上的动点(不包括端点C)，求证：DBF是锐角三角形。（1）证明：由正四棱柱性质知A1B1平面BCC1B1，A1A平面ABCD，所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影 B1CBE, ACBD, A1CBE , A1CBD， （2分） A1C平面BDE (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A1CBE , A1CBD”而推出结论的不扣分)（2）解：以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，则， (6分) (7分)设A1C平面BDEK，由(1)可知，A1BK为A1B与平面BDE所成角，(8分) (9分)(3)证明：设点F的坐标为（0, 2, z）(0<z4), 则，又|DB|=，故DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角DFB为锐角则可。 (11分) 由余弦定理得cosDFB=DFB为锐角, (13分) 即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, DFB总是锐角三角形.(14分)说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分）42、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)如图，在三棱拄中，侧面，已知（）求证：；（）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；() 在（）的条件下,求二面角的平面角的正切值.证（）因为侧面，故 在中，由余弦定理有 故有 而 且平面 （）由从而 且 故 不妨设 ，则，则又 则在中有 从而（舍负）故为的中点时， 法二：以为原点为轴，设，则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 （）取的中点，的中点，的中点，的中点 连则，连则，连则 连则，且为矩形，又 故为所求二面角的平面角在中，法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为 故 43、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)如图所示的几何体中，平面，是的中点（）求证：；（）求二面角的余弦值解： 建立如图所示的空间直角坐标系，并设，则（），所以，从而得；（）设是平面的法向量，则由，及，得可以取显然，为平面的法向量设二面角的平面角为，则此二面角的余弦值44、(广东省四校联合体第一次联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点. （1）求证：AB1/面BDC1； （2）求二面角C1BDC的余弦值； （3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论.（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， D为AC中点 ODB1A 又B1A平面BDC1，OD平面BDC1 B1A平面BDC1 （2）AA1面ABC，BCAC，AA1CC1 CC1面ABC 则BC平面AC1，CC1AC 如图建系 则C1(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0) 设平面C1DB的法向量为 则 又平面BDC的法向量为 二面角C1BDC的余弦值：cos（）设P(h,2,0) 则若CP面BDC1 则 即（h,2,0）=(2,-6,3)此时不存在在侧棱AA1上不存在点P，使得CP面BDC145、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如图) .(1) 当x=2时，求证：BDEG ；(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.解:（1）（法一）平面平面,AEEF,AE面平面,AEEF,AEBE,又BEEF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。 1分则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）2分xyz（2，2，2），（2，2，0）3分H（2，2，2）（2，2，0）0， 4分（法二）作DHEF于H，连BH，GH，1分由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH。又四边形BGHE为正方形，EGBH，BHDHH，故EG平面DBH， 3分而BD平面DBH， EGBD。 4分（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）AD面BFC，所以 VA-BFC4(4-x)x7分即时有最大值为。8分（3）（法一）设平面DBF的法向量为，AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），H_EMFDBACGF（0，3，0）,（2，2，2）, 9分则 ，即，取x3，则y2，z1， 面BCF的一个法向量为 12分则cos<>= 13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为 14分（法二）作DHEF于H，作HMBF，连DM。由三垂线定理知 BFDM，DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。9分由HMFEBF，知，而HF=1，BE=2，HM。又DH2，在RtHMD中，tanDMH=-，因DMH为锐角，cosDMH， 13分而DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，故二面角D-BF-C的余弦值为。 14分46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点在斜边上。（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所 成角的大小；（III）（理）求与平面所成角的最大值。（文）当为的中点时，求与平面所成的角。解：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面，平面平面4分（II）解法一：作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为8分解法二：建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为8分（III）（理）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为12分（文）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且45o。12分47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，在几何体中，面为矩形，面，（1）求证；当时，平面PBD平面PAC；（2）当时，求二面角的取值范围。以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得（1）当时，4分，又，平面PBD平面PAC；6分解法二：当时，矩形为正方形，面，2分又，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC（2）由得设平面PDC， 不妨设，则设平面PDB， 不妨设，则10分当变化时，即，又，48、(河北省正定中学高2008届一模)在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，EAB=ABC=DEA=90°（1）若为中点，求证：平面.（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.解（1）AED90°，AEEDPA平面ABCDE，PAEDED平面PAE，所以DEAG。，为中点，所以AGPE，DEPEE，AG平面PDE （4分）（2）AED90°，AEEDPA平面ABCDE，PAEDED平面PAE过A作AGPE于G，过DEAG，AG平面PDE过G作GHPD于H，连AH，由三垂线定理得AHPDAHG为二面角A-PD-E的平面角在直角PAE中，AG2a在直角PAD中，AHa在直角AHG中，sinAHG二面角A-PD-E的正弦值为 .( 8分)（3）EAB=ABC=DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a, 取AE中点F，连CF，AF=BC,四边形ABCF为平行四边形CFAB，而ABDE，CFDE，而DE平面PDE，CF平面PDE，CF平面PDE点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离PA平面ABCDE，PADE又DEAE，DE平面PAE平面PAE平面PDE过F作FGPE于G，则FG平面PDEFG的长即F点到平面PDE的距离在PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FGPE， FG=a 点C到平面PDE的距离为a（或用等体积法求）（12分）49、BFAFDAECM矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF= （）证明：AE 平面FCB； （）求异面直线BD与AE所成角的余弦值 （）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN平面FCB？证明你的结论解：(1) 平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE, BCAD BCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,所以四边形ABEF为正方形.AEFB,又BFBF平面BCF，BC平面BCF所以AE平面BCF4分(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH/BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=异面直线BD与AE所成的角的余弦值为.8分(3)当N为FD的中点时, MN平面FCB证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，则NG/FC,MG/BC, 又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM/平面FBC,MN平面NGMMN/平面FBC12分50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点。(1)求异面直线AE与A1C所成的角；(2)若G为C1C上一点，且EGA1C，试确定点G的位置；(3)在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AEA1E1，E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设，则中， 。所以异面直线AE与A1C所成的角为。 -4分（2）.由（1）知，A1E1B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱BCC1B1,又EGA1C CE1EG. =GEC 即得所以G是CC1的中点 - -8分（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q,连EP,EQ,则EPAC.又平面ABC平面ACC1A1 EP平面ACC1A1 而PQAG EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角. 由EP=a,AP=a,PQ=,得所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是arctan -12分（文）二面角的平面角的正切值为。-12分 永久免费组卷搜题网