2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案11.1 数列极限 microsoft word 文档doc--高中数学 .doc
永久免费组卷搜题网第十章 极限 导数知识结构网络111 数列极限一、明确复习目标1理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则;2会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根;3会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和二建构知识网络1数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限注：a不一定是an中的项2几个常用的极限：C=C（C为常数）; =0; qn=0（|q|1）无穷等比数列an,当公比的绝对值|q|<1时,前n项和的极限称之为“各项和”或“所有项的和”3数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b; （an·bn）=a·b; =（b0）说明: 极限的四则运算法则,只适合于有限次的四则运算对于数列前n项和的极限,必须先求和(式),再取极限三、双基题目练练手1下列极限正确的个数是=0（0） qn=0=1 C=C（C为常数）A2 B 3 C4 D都不正确2(2006陕西) 等于( ) A 1 B C D 03 已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是A2 B3 C D64（2006重庆） 。5 将无限循环小数化为分数是_6 =_简答:1-3BBD；3由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =6 4 分子先求和,再求极限5 =012+00012+=012/(1001) =4/336 1四、经典例题做一做【例1】 求下列极限：（1）; （2） （n）;（3）（+）分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）=（2） （n）= =（3）原式=（1+）=1特别提示:对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误： （n）= n=0;原式=n=不存在对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误【例2】 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得an·an1,an是以a13，公比为c的等比数列，则an3·n1Sn（2） 当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用【例3】 已知直线l:xny=0（nN *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求分析:要求的值，必须先求它与n的关系解:设圆心M（1,1）到直线l的距离为d,则d2=又r=1,|AB|2=4（1d2）=设点C（x1,y1）, D（x2,y2），由nx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=, x1·x2=1（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）=2评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法【例4】若数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方程x2bnx+cn=0的两根,其中0|c|1,当（b1+b2+bn）3时,求c的取值范围解:首先,由题意对任意nN*,an·an+1=cn恒成立=c又a1·a2=a2=ca1,a3,a5,a2n1,是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立=c又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为c的等比数列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）=+3解得c或c10|c|1,0c或1c0故c的取值范围是（1,0）（0,提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将bn的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系【研讨欣赏】在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a0）个单位后,向左转90°,前进a r （0r1个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,如此连续下去（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2）若其中的r为变量,且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则x=aar2+ar4=,y=arar3+ar5=,大本营应在点（,）附近去寻找小分队（2）由消去r得（x）2+y2=（其中x,y0）,即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上五提炼总结以为师1 极限的四则运算法则只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限;2 对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值。3 对含参数的题目要看是否需要分类讨论;4在日常学习过程中,注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用同步练习 【选择题】1 n（1）（1）（1）（1）等于 ( )A0 B1 C2 D32（2003北京）若数列an的通项公式是an=,n=1,2,则 （a1+a2+an）等于A B C D3（2004湖南）数列an中,a1=,an+an+1=,nN*,则（a1+a2+an）等于A B C D【填空题】4 (2006山东)若，则常数 。5（2004 上海）设等比数列an（nN）的公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,则a1=_6（2004春上海）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线xy=0上，则=_简答提示：1-3CCC; 1 原式=n×××××=22 an=a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）（a1+a2+an）=32（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（an1+an）+an=+an原式=+an=（+an）an+an+1=,an+an+1=0an=0答案:C4 2; 52; 63【解答题】7求下列极限：； 解：（1） （2）8已知数列an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 （+）的值解:an、bn的公差分别为d1、d22b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2=（）原式=（1）=9 （2003年北京）如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（nN*）（1）证明an是等比数列；（2）求（a1+a2+an）的值A B C.OO12（1）证明:记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=l=sin30°=,rn=rn1（n2）于是a1=r12=,=（）2=,an成等比数列（2）解：因为an=（）n1·a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=10已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中pq且p1,q1,设cn=an+bn,Sn为数列cn的前n项和，求解:Sn=+,当p1时，pq0,得01,上式分子、分母同除以pn1，得=p当p1时，0qp1, =1【探索题】已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为 ()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零 (注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155() =，=当m=2时，=，当m>2时，=0，所以m=2 永久免费组卷搜题网
