2009届全国名校高三模拟试题汇编——073立体几何解答题doc--高中数学 .doc
永久免费组卷搜题网本资料来源于七彩教育网2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上)07 立体几何三、解答题1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，、分别是、的中点FEDCBAP（）证明：EF平面PCD；（）求二面角BCEF的大小（）证明：取的中点为，连接，易证：且于是，EFMD，而MDÌ平面PCD所以EF平面PCD（）以点为原点，建系，易求得(1,1,0)、(，)、(0，1，0)、(，0，0)，从而分别求出平面和平面的法向量、从而算出二面角大小为2、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，直线B1C与平面ABC成30°角。 （1）求证：平面B1AC平面ABB1A1； （2）（文科）求二面角BB1CA的正切值； （3）（理科）求直线A1C与平面B1AC所成的角的正弦值。解：（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱 错误！不能通过编辑域代码创建对象。底面ABC 又错误！不能通过编辑域代码创建对象。AC错误！不能通过编辑域代码创建对象。面ABC 错误！不能通过编辑域代码创建对象。AC 又错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 又错误！不能通过编辑域代码创建对象。AC错误！不能通过编辑域代码创建对象。面B1AC 错误！不能通过编辑域代码创建对象。（6分） （2）错误！不能通过编辑域代码创建对象。三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱 错误！不能通过编辑域代码创建对象。底面ABC 错误！不能通过编辑域代码创建对象。为直线B1C与平面ABC所成的角，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。 过点A作AMBC于M，过M作MNB1C于N，加结AN。 平面BB1CC1平面ABC AM平面BB1C1C 由三垂线定理知ANB1C从而ANM为二面角BB1CA的平面角。 设AB=BB1=错误！不能通过编辑域代码创建对象。 在RtB1BC中，BC=BB1错误！不能通过编辑域代码创建对象。 在RtBAC中，由勾股定理知错误！不能通过编辑域代码创建对象。 又错误！不能通过编辑域代码创建对象。 在RtAMC中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。 在RtMNC中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。 在RtAMN中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。 即二面角BB1CA的正切值为错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （文12分） （3）（理科）过点A1作A1H平面B1AC于H，连结HC，则 A1CH为直线A1C与平面B1AC所成的角 由错误！不能通过编辑域代码创建对象。知 错误！不能通过编辑域代码创建对象。在Rt错误！不能通过编辑域代码创建对象。（理12分）3、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知（1）证明：平面；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角的大小18解： （1） 4分 （2）ADBCPCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角 8分（3）作 为二面角的平面角10分 12分4、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)如图，在中，,，为的中点，沿将折起到的位置，使得直线与平面成角。 (1)若点到直线的距离为，求二面角的大小； (2)若，求边的长。解：(I)由已知，OCOB，OCOA从而平面AOB平面ABC.过点A作ADAB，垂足为D，则AD平面ABC，(2分)AED30°，又AOBO1，AOD60°，从而ADAOsin60°.(4分)过点D作DEBC，垂足为E，连结AE，据三垂线定理，AEBC.AED为二面角ABCA的平面角.(5分)由已知，AE1，在RtADE中AED60°故二面角ABCA的大小为60°.(6分) (II)设BC，ACB，则AC，OCB.在RtBOC中，(8分)在ADB中，AB在ABC中，AB2AC2BC22AC·BC(10分)(12分)5、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明； （2）证明平面；（1）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明：由，可得是的中点，由（1）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面6、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重合于.（1） 求证:；（2） 求二面角的正切值.（1）证明：,2分,3分,而5分（2）解：取的中点，连，,如图7分又由（1）知，,为二面角的平面角9分在中，,10分又在中，即二面角的正切值为.12分7、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）求证： /平面； （2）求证：平面；（3）设是上一点，试确定的位置，使平面平面，并说明理由.（1）证明：如图，连结AB1与A1B相交于M。则M为A1B的中点连结MD，则D为AC的中点B1CMD又B1C平面A1BDB1C平面A1BD 4分 （2）AB=B1B四边形ABB1A1为正方形A1BAB1又AC1面A1BDAC1A1BA1B面AB1C1 6分A1BB1C1又在直棱柱ABCA1B1C1中BB1B1C1B1C1平面ABB1A1 8分 （3）当点E为C1C的中点时，平面A1BD平面BDE9分D、E分别为AC、C1C的中点DEAC1 AC1平面A1BDDE平面A1BD又DE平面BDE平面A1BD平面BDE 12分8、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，DAB=60°，PA底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.（1）求证：PCBD；（2）求证：AF/平面PEC；（3）求二面角PECD的大小. 证明：（1）连结AC，则ACBD。PA平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得PCBD。4分 （2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。AF/EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC。4分 （3）延长DA、CE交于M，过A作AHCM于H，连结PH，由于PA平面ABCD，可得PHCM。PHA为所求二面角PECD的平面角。10分E为AB的中点，AE/CD，AM=AD=2，在AME中，MAE=120°，由余弦定理得14分9、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)如图6，在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.图6（）求证：AP/平面EFG； () 求二面角的大小;（）求三棱椎的体积.图7解:() 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO. E,F分别为PC,PD的中点,/,同理/, / 四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. 3分又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA/EO4分平面EFOG,PA平面EFOG, 5分PA/平面EFOG,即PA/平面EFG. 6分方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.E,F分别为PC,PD的中点,/,同理/又/AB,/平面EFG/平面PAB, 4分又PA平面PAB,平面EFG. 6分方法三)如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系.则有关点及向量的坐标为:2分设平面EFG的法向量为取.4分,5分又平面EFG. AP/平面EFG. 6分()由已知底面ABCD是正方形,又面ABCD又平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =8分又由()方法三)知平面EFG的法向量为9分10分结合图知二面角的平面角为11分() 14分10、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)DEFCABNNABCDMP图图如图，在等腰梯形CDEF中，已知CDEF，CD2，EF6，AD、BC均为梯形的高，且ADBC.现沿AD、BC将ADE和BCF折起，使点E、F重合为一点P，如图所示.又点N为线段AB的中点，点M在线段AD上，且MNPC.(1)求线段AM的长；(2)求二面角PMCN的大小.NABCDMPEyzx解：(1)由题意，AD平面PAB，取CD的中点E，连接NE四边形ABCD是矩形，点N是AB的中点ADEN，EN平面PAB由题意得PAABBP2PNAB2'如图所示，建立空间直角坐标系Nxyz则A(0，1，0)，P(，0，0)，C(0，1，)设M(0，1，z)，则(0，1，z)，(，1，) 4'由·1z0 Þ zAM 6'(2)设平面PMC的法向量(x0，y0，z0)，(0，2，)由·0且·0得 Þ 取 Þ (，1，2)9'平面MCN的法向量(1，0，0)cos<，> Þ <，>11'二面角PMCN为锐角，二面角PMCN的大小为.12'NABCDMPEyzx11、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中 （1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距离解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系1分（1）设E是BD的中点，PABCD是正四棱锥， 又， 即（2）设平面PAD的法向量是， 取得，又平面的法向量是 （3） 到平面PAD的距离解法二：（1）设AC与BD交点为O，连PO；PABCD是正四棱锥，PO面ABCD， AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，AOBD，由三垂线定理知PABD，而BDB1D1； （2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B； AO面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，则由三垂线定理知AEO为二面角A-PD-B的平面角； 可以计算得， （3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；由VM-PAD=VP-ADM求得。12、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)如图，分别是正方体的棱的中点（1）求证：/平面；（2）求证：平面平面D1A1B1C1KNCBAMD（1）证明：连结NK.D1A1B1KNBAMD在正方体中，四边形都为正方形，分别为的中点，为平行四边形.为平行四边形.平面平面，平面（2）连结在正方体中，分别中点，四边形为平行四边形.在正方体中，平面平面为正方形， 平面平面平面平面 平面平面13、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)如图，平面平面ABCD，ABCD为正方形，是直角三角形，且，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点.（1）求证：面EFC；（2）求异面直线EG与BD所成的角；（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，GHADEF，E，F，G，H四点共面,又H为AB中点，EHPB.又面EFG，PB面EFG，PB面EFG.6分（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GMBD，EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.在RtMAE中，同理，又，在MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为.12分14、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点， （1）求证：B1C平面A1BD； （2）若AC1平面A1BD，二面角BA1C1D的余弦值.解：（1）连结AB1交于A1B于点E，连结ED.侧面ABB1A1是正方形 E是AB1的中点又D是AC的中点 EDB1CB1C平面A1BD4分 （2）取A1C1的中点G，连结DG，则DGA1C1AB=BC BDAC BD平面A1C1DBGA1C1BGD为二面角BA1C1D的平面角8分AC1平面A1BD，AC1BD，又CC1平面ABCD，且AC1在平面ABC的射影为AC，ACBDAB=BC且D为AC中点，ABBC 且BD=AB又DG=A1A=ABBG=AB 12分15、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，ACDB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PBPD. （）求异面直线PD与BC所成角的余弦值； （）求二面角PABC的大小； （）设点M在棱PC上，且，问为何值时，PC平面BMD.解：以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，）.（1），故直线PD与BC所成的角的余弦值为 （2）设平面PAB的一个法向量为，由于由取的一个法向量又二面角PABC不锐角.所求二面角PABC的大小为45° （3）设三点共线， （1） （2）由（1）（2）知 故16、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)MPDCBA如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M为BC的中点()证明：AMPM ；()求二面角PAMD的大小；()求点D到平面AMP的距离解法1：() 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.PCD为正三角形，PECD，PE=PDsinPDE=2sin60°=平面PCD平面ABCD， PE平面ABCD （2分）四边形ABCD是矩形EÁBCDPMADE、ECM、ABM均为直角三角形由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3 （4分），又在平面ABCD上射影：AME=90°， AMPM （6分）()由()可知EMAM，PMAMPME是二面角PAMD的平面角 （8分）tan PME=PME=45°二面角PAMD为45°； （10分）()设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则 ， 而 （12分）在中，由勾股定理可求得PM=,所以：即点D到平面PAM的距离为 （14分）解法2：() 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得zyxMPDCBÁ 2分 （4分） 即,AMPM （6分） ()设，且平面PAM，则 即 ， 取，得 （8分）取，显然平面ABCD， 结合图形可知，二面角PAMD为45°； （10分）() 设点D到平面PAM的距离为，由()可知与平面PAM垂直，则=EDCBAAMA即点D到平面PAM的距离为 （14分）17、(天津市汉沽一中20082009学年度高三第四次月考试题)如图所示的几何体中,平面，,，是的中点.()求证:;zyxEDCBAAMA()求二面角的余弦值.解法一: 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以. 4分()证: 5分 6分,即. 7分()解:设平面的法向量为, 由,得取得平面的一非零法向量为 10分又平面BDA的法向量为 11分，二面角的余弦值为. 14分QONPEDCBAAMA解法二:()证明:取的中点,连接,则,故四点共面， 2分平面， . 3分又 4分由，平面 6分; 7分()取的中点,连,则平面过作,连,则是二面角的平面角. 9分设, 与的交点为,记,则有., 12分又在中,即二面角的余弦值为. 14分18、(厦门市第二外国语学校20082009学年高三数学第四次月考)如图，已知点H在正方体的对角线上，HDA=（）求DH与所成角的大小；（）求DH与平面所成角的大小解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系设ABCDxyzH则，连结，设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即DH与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得DH与平面所成的角为19、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)在正三棱锥中，D是AC的中点，.（1）求证：（5分）（2）（理科）求二面角的大小。（7分） （文科）求二面角平面角的大小。（7分）20、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)如图，PABCD是正四棱锥是正方体，其中.（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；（3）求到平面PAD的距离.解法一: (1) 连结AC , 交BD于点O , 连结PO , 则PO面ABCD , 又ACBD , ,BDB1D1 , . -4分 (2) AOBD , AOPO , AO面PBD , 过点O作OMPD于点M,连结AM ,则AMPD , AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, -6分又, AP=,PO= , ,即二面角的大小为 . -8分 (3) 分别取AD , BC中点E , F ,作平面PEF , 交底面与两点S , S1 , 交B1C1于点B2 , 过点B2作B2B3PS于点B3 , 则 B2B3面PAD , 又 B1C1AD ,B2B3的长就是点B1到平面PAD 的距离 . -10分 PO=AA1=2 , , , . -12分解法二: 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）设E是BD的中点，PABCD是正四棱锥， 又， 即 -4分（2）设平面PAD的法向量是， 取得， 又平面的法向量是 -8分（3） 到平面PAD的距离 -12分21、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，DAB=60°，PA底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点. （1）求证：PCBD； （2）求证：AF/平面PEC； （3）求二面角PECD的大小.证明：（I）连结AC，则ACBD。PA平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得PCBD。4分 （II）取PC的中点K，连结FK、EK， 则四边形AEKF是平行四边形。AF/EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC。4分 （III）延长DA、CE交于M，过A作AHCM于H，连结PH，由于PA平面ABCD，可得PHCM。PHA为所求二面角PECD的平面角。10分E为AB的中点，AE/CD，AM=AD=2，在AME中，MAE=120°，由余弦定理得14分22、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（1）求异面直线与所成的角；（2）求平面与平面所成的二面角；（3）求点到平面的距离.解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（I）因为所以=易知异面直线所成的角为。4分（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为 。4分（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为。4分23、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图直棱柱ABC-A1B1C1中AB=,AC=3,BC=,D是A1C的中点E是侧棱BB1上的一动点。(1)当E是BB1的中点时证明：DE/平面A1B1C1；(2)求的值(3)在棱 BB1上是否存在点E,使二面角E-A1C-C是直二面角？若存在求的值，不存在则说明理由。C1BA1B1DEACABA1C1B1EC证明：取AC中点M连BM，DM又即四边形DMBE为平行四边形3分又面ABC,D面ABC面ABC在中，.2分过B作,如图建系 设2分设面的法向量 3分面的法向量.1分二面角是直二面角，3分24、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)ABCDA1B1C1D1EF如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D1（1）证明:连结BD.在长方体中，对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 又B1D1平面，平面， EF平面CB1D1. 6（2） 在长方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1 13DACOBE25、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（）求证：平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（）求点E到平面ACD的距离解:方法一：证明：连结OC 1分ACDOBE， 2分在中，由已知可得 3分而， 4分即 5分平面 6分解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角， 8分在中， 是直角斜边AC上的中线， 9分， 10分异面直线AB与CD所成角的余弦值为 11分解：设点E到平面ACD的距离为， 12分在中，,而，点E到平面ACD的距离为 14分方法二：同方法一解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则ACDOBEyzx， 9分 异面直线AB与CD所成角的余弦值为 10分解：设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离14分26、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)已知正方体ABCD中，E为棱CC上的动点，（1）求证：；DA1BCEAB1C1D1（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面；解析:连结AC，设，连结（1）,又,-7分（2）在等边三角形中，而，平面, 平面, ，平面于是.在正方体ABCD中，设棱长为，E为棱CC的中点，由平面几何知识，得，满足，平面平面-14分27、(广东省恩城中学2009届高三上学期模拟考试)如图, 在矩形中, , 分别为线段的中点, 平面.(1) 求证: 平面；(2) 求证:平面平面；(3) 若, 求三棱锥的体积.证明: 在矩形ABCD中,APPB, DQQC,APCQ. AQCP为平行四边形.-2分CPAQ. CP平面CEP, AQ平面CEP,AQ平面CEP. -4分 EP平面ABCD,AQ平面ABCD,AQEP. -6分AB2BC, P为AB中点, APAD. 连PQ, ADQP为正方形.AQDP.-8分又EPDPP, AQ平面DEP. AQ平面AEQ. 平面AEQ平面DEP. -10分 解：平面 EP为三棱锥的高 所以 -14分ABCDEF28、(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.方法一：(1) 证：取的中点，连.ABCDEFMHG为的中点，且. 1分平面，平面， ，. 2分又，. 3分四边形为平行四边形，则. 4分 平面，平面，平面. 5分(2) 证：为等边三角形，为的中点， 6分平面，平面，. 7分又，故平面. 8分，平面. 9分平面，平面平面. 10分(3) 解：在平面内，过作于，连. 平面平面， 平面.为和平面所成的角. 12分设，则，R t中，.直线和平面所成角的正弦值为14分方法二：设，建立如图所示的坐标系，则.2分为的中点，. 3分 (1) 证：， 4分，平面，平面. 5分 (2) 证：， 6分，. 8分平面，又平面，平面平面. 10分 (3) 解：设平面的法向量为，由可得： ，取. 12分 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 14分29、(2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图5，已知等腰直角三角形，其中=90º，图5点A、D分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值解：（1）点A、D分别是、的中点，. 2分=90º. , ,平面. 4分平面,. 6分（2）法1：取的中点，连结、 ,. ,平面.平面,.
