2010届高三数学一轮复习强化训练精品――平面向量、解三角形单元综合测试 doc--高中数学 .doc
永久免费组卷搜题网2010届高三数学一轮复习强化训练精品平面向量、解三角形单元综合测试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.（2008·辽宁理）已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2+ =0，则= （用、表示）.答案 2-2.向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)(2a-b),则向量a与b的夹角为 .答案 90°3.如图所示，已知梯形ABCD中，ABCD，且AB=3CD，M，N分别是AB，CD的中点，设=e1, =e2, 可表示为 (用e1,e2表示).答案 e2-e14.在ABC中，A=105°，C=45°,AB=，则AC= .答案 15.（2008· 湖南理）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且=2，=2，=2，则+与的位置关系为 .答案 平行6.（2008·湖北理）设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2)，则(a+2b)·c= .答案 -37.（2008·重庆理）若过两点P1（-1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为 .答案 -8.已知非零向量a,b,若a·b=0,则= .答案 19.设平面向量a=(x,y),b=(x2,y2),c=(1,-1),d=(),若a·c=b·d=1,则这样的向量a的个数是 个.答案 010.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=3,|a+b|=，则|b|= .答案 411.（2008·北京理，10）已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·（2a+b）的值为 .答案 012.（2008·天津文，14）已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若c=a-(a·b)b，则|c|= .答案 813.（2008·陕西理，15）关于平面向量a，b，c有下列三个命题：若a·b=a·c，则b=c；若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=-3;非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为 .答案 14.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为 m.答案 二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；（2）求c在a方向上的投影；（3）求1和2，使c=1a+2b.（1）证明 a=(-1,1),b=(4,3),-1×31×4,a与b不共线，设a与b的夹角为,cos=-.（2）解 设a与c的夹角为,cos=-，c在a方向上的投影为|c|cos=-.(3)解 c=1a+2b,，解得1=-,2=.16.(2008·合肥模拟)（14分）已知向量a=(cosx,sinx),|b|=1,且a与b满足|ka+b|=|a-kb| (k0).（1）试用k表示a·b，并求a·b的最小值；（2）若0x,b=,求a·b的最大值及相应的x值.解（1）|a|=1，|b|=1，由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,整理得a·b=,当且仅当k=1时，a·b取最小值.（2）由a·b=cosx+sinx=sin（x+）.0x，x+，-sin(x+)1.当x=时，a·b取最大值为1.17.（2009·海安高级中学测试题）（14分）在ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.（1）求角A的大小；（2）若b=4,且c=a，求ABC的面积.解 （1）m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA)|m+n|2=(+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+2=4-4sin（A-）|m+n|=2,4-4sin（A-）=4,sin（A-）=0.又0A,-A-,A-=0,A=.(2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,又b=4,c=a,A=，得a2=32+2a2-2×4×a·,即a2-8a+32=0,解得a=4，c=8.SABC=b·csinA=×4×8×sin=16.SABC=×(4)2=16.18.（2008·重庆理，17）（16分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°,c=3b.求:(1)的值;(2)的值.解 (1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=+c2-2·c·c·=c2，故=.（2）方法一 =, 由正弦定理和（1）的结论得=· =·=.故=.方法二 由余弦定理及（1）的结论有cosB=，故sinB=.同理可得cosC=-，sinC=.从而=+=-=.19.（2008·湖南理，19）（16分）在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+（ 其中sin=,0°90°）且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解 （1）如图（1）所示，AB=40，AC=10，BAC=，sin=.由于0°90°,图（1）所以cos=.由余弦定理得BC=.所以船的行驶速度为=15（海里/小时）.（2）方法一 如图（2）所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1）、C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcosCAD=10cos(45°-)=30, y2=ACsinCAD=10sin(45°-)=20.所以过点B、C的直线l的斜率k=2, 直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=37, 所以船会进入警戒水域.方法二 如图（3）所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得cosABC= =.从而sinABC=.在ABQ中,由正弦定理得AQ=40.由于AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中,PE=QE·sinPQE=QE·sinAQC=QE·sin（45°-ABC）=15×=37.所以船会进入警戒水域.20.（16分）如图所示，有两条相交成60°角的直路XX和YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿XX方向，乙沿YY的方向步行.（1）起初，两人的距离是多少？（2）用t表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解 （1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos60°=32+12-2×3×1×=7,|AB|=.所以甲、乙两人起初的距离是km.（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则|AP|=4t，|BQ|=4t，当0t时，由余弦定理|PQ|2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）·cos60°，当t时，|PQ|2=（4t-3）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120°.注意到上面两式实际上是统一的，所以|PQ|2=（16t2-24t+9）+（16t2+8t+1）+（16t2-8t-3）=48t2-24t+7，即|PQ|=.（3）|PQ|=，当t=时，|PQ|的最小值是2.即在第15分钟末，两人的距离最短. 永久免费组卷搜题网
