2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案5.3 平面向量的数量积 microsoft word 文档doc--高中数学 .doc
永久免费组卷搜题网5.3平面向量的数量积一、明确复习目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 掌握向量垂直的条件;2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 二建构知识网络1两个向量的数量积:(1)设两个非零向量与,称AOB=为向量与的夹角, (001800),当非零向量与同方向时,=00,当与反方向时=1800,与其它非零向量不谈夹角问题(2)数量积的定义:·=·cos, 叫做与的数量积; 规定,其中cosR,叫向量在方向上的投影.2.数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积.3平面向量数量积的运算律:交换律成立:对实数的结合律成立:分配律成立:乘法公式成立: ;特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=4两个向量的数量积的坐标运算:已知,则·=5向量数量积的性质:(1)·O(2)当与同向时,当与反向时,一般地 特别地:向量运算与模的转化。(3)求夹角:cos=若则夹角为锐角或00; 若则夹角为钝角或1800.(4)。三、双基题目练练手1(2006北京)若与都是非零向量,则“”是“”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ( )(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2(2005江西)已知向量=(1,2),=(-2,-4),|=若则与的夹角为 ( )A30°B60° C120° D150°3(2006陕西) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为 ( )A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形C 等腰非等边三角形 D 等边三角形4 (2005浙江)已知向量,|1,对任意tR,恒有|t|,则 ( )A. B. () C.() D. ()()5与向量的夹角相等,且模为1的向量=_6. 已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是_ 7.(2006天津)设向量与的夹角为,且,则_8.(2006天津)设函数,点表示坐标原点,点,若向量,是与的夹角,(其中),设,则= 简答:1-4.CCDC; 4.利用图形分析, 5.或 ; 6.; 7. ; 8.1.四、经典例题做一做【例1】已知向量的夹角为钝角,求m的取值范围.解:夹角为钝角则解得又当时,m的取值范围是【例2】已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。解:由题意,且与的夹角为所以,同理可得 而,设为与的夹角,则 【例3】已知向量,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角.解(1)证明: (2)(3)当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【例4】如图,四边形MNPQ是C的内接梯形,C是圆心,C在MN上,向量与的夹角为120°,·=2.(1)求C的方程;(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析:需先建立直角坐标系,为了使所求方程简单,需以C为原点,MN所在直线为x轴,求C的方程时,只要求半径即可,求椭圆的方程时,只需求a、b即可.解:(1)以MN所在直线为x轴,C为原点,建立直角坐标系xOy.与的夹角为120°,故QCM=60°.于是QCM为正三角形,CQM=60°.又·=2,即|cosCQM=2,于是r=|=2.故C的方程为x2+y2=4.(2)依题意2c=4,2a=|QN|+|QM|,而|QN|=2,|QM|=2,于是a=+1,b2=a2c2=2.所求椭圆的方程为+=1.【研讨.欣赏】OxyABCDE如图,AOE和BOE都是边长为1的等边三角形,延长OB到C使|BC|t(t>0),连AC交BE于D点 用t表示向量和的坐标;求向量和的夹角的大小解:(t+1),(t+1), t,t,又(,),(t,(t+2);(,),(,) (,),··· 又|·|· cos<,>,向量与的夹角为60°五提炼总结以为师1.平面向量的数量积、几何意义及坐标表示;2.用数量积处理向量垂直问题,向量的长度、角度问题.3.向量与的夹角:(1)当a与必有公共起点,否则要平移;(2)0°,180°;(3)cos,=同步练习 5.3平面向量的数量积 【选择题】1. (2006湖北1)已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b= ( )A.() B.() C.() D.(1,0)2. (2006四川) 已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是( )(A) (B)(C) (D)3(2004辽宁)已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4已知的非等腰三角形,且,则关于x的二次方程的根的个数叙述正确的是 ( )A无实根B有两相等实根C有两不等实根D无法确定【填空题】5.(2006春上海) 若向量的夹角为,则 .6.(2006浙江)设向量满足,若,则的值是 7.(2005重庆4)已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则向量与的夹角为_8. (2005江苏)在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是_。练习简答:1-4.BADC; 5.2; 6. 得.又,结合图形知,;7. ; 8.-2; 【解答题】9已知,按下列条件求实数的值。 (1); (2) 解:(1);(2);(3)。10.如图,求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。 法一:设=(x,y),则·=x-y,·=x+y <,>=<,> 即 又|= x2+y2=2 由得 或(舍)=法二:从分析形的特征着手 |=|=2, ·=0 AOB为等腰直角三角形,如图 |=,AOC=BOC C为AB中点 C()11. (2006湖北)设函数,其中向量,。()求函数f(x)的最大值和最小正周期;()将函数y=f(x)的图像按向量d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d。解:(I) = = 故f(x)的最大值为,最小正周期是(II)由得,即于是因为k为正数,要使最小,则只要k=1,此时即为所求.【探索题】已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点(1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,PED=450;(2) 若PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。分析:利用坐标系可以确定点P位置如图,建立平面直角坐标系yBPDCEAx则C(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,y) =(1,3),=(-1,y) ·=3y-1代入cos450=解之得(舍),或y=2 点P为靠近点A的AB三等分处(3) 当PED=450时,由(1)知P(0,2) =(2,1),=(-1,2) ·=0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四点共圆说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:建立平面直角坐标系;设点的坐标;求出有关向量的坐标;利用向量的运算计算结果;得到结论。 永久免费组卷搜题网