8.3.1--棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积.docx
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积基础过关练题组一棱柱、棱锥、棱台的面积 1.(2020湖南怀化高一上期末)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是35 cm,则这个正四棱柱的表面积为()A.90 cm2B.365 cm2C.72 cm2D.54 cm22.(2019江苏南京六校联合体高一下期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为()A.80B.240C.350D.6403.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为66a,则此棱锥的侧面积等于. 4.(2019福建三明三地三校高一下联考)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为cm2. 5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为. 6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.(1)求这个四棱锥的侧棱长;(2)求这个四棱锥的表面积. 题组二棱柱、棱锥、棱台的体积7.(2019北京高二学业考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A.2B.3C.4D.68.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为3,那么这个四棱锥的体积为()A.43B.423C.83D.8239.(2020江西景德镇高一上期末)已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为()A.3B.33C.34D.33410.(2020江苏徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P为棱AA1的中点,若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为9,则三棱锥C1-PBC的体积为. 11.(2020豫南九校高一上联考)一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为423,则它的侧面积为. 12.已知点P为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点,若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为. 13.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=3,AB=23.(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.14.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,这个几何体的体积为403,求几何体ABCD-A1C1D1的表面积. 能力提升练题组一棱柱、棱锥、棱台的面积 1.(2020河南省实验中学高一上月考,)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A.24B.28C.20+45D.20+462.()若正四棱锥的斜高是高的233倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为. 3.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1平面ABC,AB=AA1=a,D是BC边上的一点,且AD为BAC的平分线,若在三棱柱ABC-A1B1C1中去掉三棱锥C1-ACD后得到的几何体的表面积为33+15+18,求a的值. 题组二棱柱、棱锥、棱台的体积4.(2020黑龙江哈尔滨第九中学高三上期末,)我国古代名著张邱建算经中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈,高为三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底面边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺)()A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺5.(2019辽宁葫芦岛高一上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1B和B1C1的中点,则三棱锥A1-MNC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为()A.14B.15C.16D.176.(2020浙江宁波效实中学高二期中,)如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为V,AB=2A1B1,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分的体积为()A.14VB.23VC.37VD.35V7.(多选)(2020广东高三一模,)在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是()A.23B.212C.312D.338.(多选)(2020福建厦门高一下期中,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是()A.直三棱柱的侧面积是4+22B.直三棱柱的体积是13C.三棱锥E-AA1O的体积为定值D.AE+EC1的最小值为229.(2020安徽合肥一中期末,)正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD体积的比值是. 10.(2020天津静海一中高一下线上检测,)如图,求一个棱长为2的正四面体的体积时,可以将正四面体看成是一个棱长为1的正方体截去四个角后得到的,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体A-BCD,其三对棱长分别为AB=CD=5,AD=BC=13,AC=BD=10,则此四面体的体积为. 答案全解全析基础过关练1.A由题意得,侧棱长为(35)2-32=6(cm),所以正四棱柱的表面积为4×3×6+2×32=90(cm2).故选A.2.B由题意可知,该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,等腰梯形的高为102-16-422=8,等腰梯形的面积为12×(4+16)×8=80,该棱台的侧面积为3×80=240.3.答案34a2解析如图所示,在正三角形ABC中,OB=23×32a=33a.所以在直角三角形POB中,PB=PO2+BO2=a26+a23=22a,所以在等腰三角形PAB中,底边AB上的高为a22-a24=a2,所以正三棱锥的侧面积为3×12×a×a2=34a2.4.答案60解析棱柱的侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积,棱柱的侧面积为3×5×4=60(cm2).5.答案23解析设正四棱台的高、斜高分别为h、h'.由题意得,4×12×(1+2)×h'=12+22,解得h'=56.根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形,可得h2+1-122=562,解得h=23.6.解析(1)在RtSOM中,OM=SM2-SO2=121-64=57.在RtSBM中,SM=11,BM=OM=57,侧棱长SB=SM2+BM2=121+57=178.(2)结合(1)得,S侧=4×12×BC×SM=4×12×257×11=4457,S底=BC2=(257)2=228,S表=4457+228.7.B因为ABAC,所以SABC=AB·AC2=32,所以VABC-A1B1C1=SABC×AA1=32×2=3.故选B.8.B由题意设正四棱锥的棱长为a,则其斜高为a2-a22=3a2=3,因此a=2,所以正四棱锥的高为3-a22=2,所以这个四棱锥的体积为13×2×22=423.故选B.9.A因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为34×22=3,所以正三棱锥的体积为13×3×3=3.故选A.10.答案3解析如图所示.VC1-PBC=VP-C1CB=VA-C1CB=VC1-ABC=13C1C·SABC=13VABC-A1B1C1=13×9=3,故答案为3.11.答案43解析设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为2a,则底面面积为4a2,斜高为3a,高为2a,所以13×42a3=423,解得a=1.所以S侧=12×2a×3a×4=43.12.答案3V2解析设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在侧棱AA1上,所以VP-BCC1B1=VA-BCC1B1.又V1=VA-A1B1C1+VA-BCC1B1=13V1+V,所以V1=3V2,故答案为3V2.13.解析(1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为34×(3)2=334,下底面面积为34×(23)2=33,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为13×334+334×33+33×3=214.(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,则O1M1=12,OM=1,所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M=(3)2+122=132,所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为3×12×(3+23)×132=9394.14.解析由题意得,VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=2×2×AA1-13×12×2×2×AA1=103AA1=403,AA1=4.A1B=C1B=25,A1C1=22.设A1C1的中点为H,则BH=32,SA1C1B=12×22×32=6,几何体ABCD-A1C1D1的表面积为3×8+4+2+6=36.能力提升练1.C根据三视图知,该几何体是下部为正方体,上部为正四棱锥的组合体,如图所示.该几何体的表面积为5S正方形ABCD+4SPAB=5×22+4×12×2×22+12=20+45.故选C.2.答案21解析设正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a,则h'=233h,a=2h'2-h2=233h.该正四棱锥的侧面积为4×12a×h'=83h2,底面积为a2=43h2,该正四棱锥的侧面积与底面积之比为21.3.解析由题意得AD=a2-12a2=32a,C1D=a2+12a2=52a,AC1=a2+a2=2a,AD2+C1D2=AC12,ADDC1,SADC1=12·3a2·5a2=15a28,a2-12·a2·a+12a2+a2+34a2+38a2+15a28=18+33+158a2=18+33+15,解得a=22(负值舍去).4.B如图所示,正四棱锥S-ABCD的底面边长为2丈,即AB=20尺,高3丈,即SO=30尺.截去一段后,得正四棱台ABCD-A1B1C1D1,且上底面边长A1B1=6尺,30-OO130=12×612×20,解得OO1=21,该正四棱台的体积是13×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺).故选B.5.C因为M是A1B的中点,所以VA1-MNC=VC-A1MN=VC-BMN=12VC-A1BN=12VA1-CBN.又VA1-CBN=VA-CBN=VN-ABC=VB1-ABC=13VABC-A1B1C1,所以VA1-MNC=12×13VABC-A1B1C1=16×VABC-A1B1C1,所以体积之比为16.故选C.6.C设三棱台的高为h,上底面A1B1C1的面积为S上,下底面ABC的面积为S下.因为AB=2A1B1,所以S下=4S上,所以三棱台的体积V=13(S上+S下+S上S下)h=13(5S上+4S上2)h=73S上h.三棱锥A1-ABC的体积为13S下h=43S上h,所以剩余部分的体积为37V.7.BC由题意得,面PBC是边长为1的正三角形,所以SPBC=34.设三棱锥A-PBC的高为h,则VP-ABC=VA-PBC=13SPBC·h=13×34×h=312h.又h(0,1,所以该四面体的体积V0,312.故选BC.8.ACD由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+12+12×2=4+22,故A正确;直三棱柱的体积为SABC·AA1=12×1×1×2=1,故B不正确;点E是侧棱BB1上的一个动点,以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值22,又SAA1O=14×2×2=22,VE-AA1O=13×22×22=16,故C正确;将面BB1C1C展开至与面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,即E为BB1的中点,此时AE+EC1的值最小,为22,故D正确.9.答案14解析如图所示,三棱锥A-B1CD1可由正四棱锥P-ABCD减去四个小三棱锥得到.设正四棱锥P-ABCD的体积为V,因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,所以VB1-ABC=14V,VD1-ACD=14V,易得VA-PB1D1=18V,VC-PB1D1=18V,故三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD的体积的比值是V-14V-14V-18V-18VV=14.故答案为14.10.答案2解析该四面体A-BCD可以看作一个长方体截去四个角之后得到.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则x2+y2=5,x2+z2=13,y2+z2=10,解得x=2,y=1,z=3,则VA-BCD=2×1×3-4×13×12×2×1×3=2.故答案为2.
